Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39987 / 41954
↖ ↑ ↗
← S 44.972571°
E 39.655152°		 ← 432.10 m → S 44.972571°
E 39.660645°		 →
↑
432.08 m
↓
↑
432.08 m
↓
S 44.976456°
E 39.655152°		 ← 432.07 m →
186 695 m²		 S 44.976456°
E 39.660645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610160827636719 y=0.640174865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610160827636719 × 216)
    floor (0.610160827636719 × 65536)
    floor (39987.5)     		tx = 39987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640174865722656 × 216)
    floor (0.640174865722656 × 65536)
    floor (41954.5)     		ty = 41954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39987 / 41954 ti = "16/39987/41954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39987/41954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39987 ÷ 216
    39987 ÷ 65536     		x = 0.610153198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41954 ÷ 216
    41954 ÷ 65536     		y = 0.640167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610153198242188 × 2 - 1) × π
    0.220306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69211296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.28033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.880696719819672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69211296} λ = 0.69211296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880696719819672))-π/2
    2×atan(0.414494024854427)-π/2
    2×0.392938447660866-π/2
    0.785876895321733-1.57079632675     		φ = -0.78491943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69211296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.655152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78491943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.972571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39987 KachelY 41954 0.69211296 -0.78491943 39.655152 -44.972571
    Oben rechts KachelX + 1 39988 KachelY 41954 0.69220883 -0.78491943 39.660645 -44.972571
    Unten links KachelX 39987 KachelY + 1 41955 0.69211296 -0.78498725 39.655152 -44.976456
    Unten rechts KachelX + 1 39988 KachelY + 1 41955 0.69220883 -0.78498725 39.660645 -44.976456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78491943--0.78498725) × R
    6.78200000000517e-05 × 6371000     		dl = 432.08122000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78491943--0.78498725) × R
    6.78200000000517e-05 × 6371000     		dr = 432.08122000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69211296-0.69220883) × cos(-0.78491943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707445215775966 × 6371000     		do = 432.098885740961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69211296-0.69220883) × cos(-0.78498725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707397281130761 × 6371000     		du = 432.069607845911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78491943)-sin(-0.78498725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707445215775966-0.707397281130761)×R²
    abs(0.69220883-0.69211296)×4.79346452043616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79346452043616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79346452043616e-05×40589641000000     		ar = 186695.488568682m²