Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39986 / 41938
↖ ↑ ↗
← S 44.910359°
E 39.649658°		 ← 432.61 m → S 44.910359°
E 39.655152°		 →
↑
432.53 m
↓
↑
432.53 m
↓
S 44.914249°
E 39.649658°		 ← 432.58 m →
187 110 m²		 S 44.914249°
E 39.655152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610145568847656 y=0.639930725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610145568847656 × 216)
    floor (0.610145568847656 × 65536)
    floor (39986.5)     		tx = 39986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639930725097656 × 216)
    floor (0.639930725097656 × 65536)
    floor (41938.5)     		ty = 41938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39986 / 41938 ti = "16/39986/41938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39986/41938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39986 ÷ 216
    39986 ÷ 65536     		x = 0.610137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41938 ÷ 216
    41938 ÷ 65536     		y = 0.639923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610137939453125 × 2 - 1) × π
    0.22027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69201708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.27984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87916273903183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69201708} λ = 0.69201708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87916273903183))-π/2
    2×atan(0.415130338647019)-π/2
    2×0.393481345481471-π/2
    0.786962690962943-1.57079632675     		φ = -0.78383364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69201708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.649658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78383364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.910359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39986 KachelY 41938 0.69201708 -0.78383364 39.649658 -44.910359
    Oben rechts KachelX + 1 39987 KachelY 41938 0.69211296 -0.78383364 39.655152 -44.910359
    Unten links KachelX 39986 KachelY + 1 41939 0.69201708 -0.78390153 39.649658 -44.914249
    Unten rechts KachelX + 1 39987 KachelY + 1 41939 0.69211296 -0.78390153 39.655152 -44.914249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78383364--0.78390153) × R
    6.78899999999594e-05 × 6371000     		dl = 432.527189999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78383364--0.78390153) × R
    6.78899999999594e-05 × 6371000     		dr = 432.527189999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69201708-0.69211296) × cos(-0.78383364) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708212200434605 × 6371000     		do = 432.612470789752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69201708-0.69211296) × cos(-0.78390153) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708164268487591 × 6371000     		du = 432.58319148898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78383364)-sin(-0.78390153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708212200434605-0.708164268487591)×R²
    abs(0.69211296-0.69201708)×4.79319470140238e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79319470140238e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79319470140238e-05×40589641000000     		ar = 187110.324374375m²