Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39980 / 9268
↖ ↑ ↗
← N 78.002758°
E 39.616699°		 ← 126.96 m → N 78.002758°
E 39.622192°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 78.001617°
E 39.616699°		 ← 126.97 m →
16 122 m²		 N 78.001617°
E 39.622192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610054016113281 y=0.141426086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610054016113281 × 216)
    floor (0.610054016113281 × 65536)
    floor (39980.5)     		tx = 39980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141426086425781 × 216)
    floor (0.141426086425781 × 65536)
    floor (9268.5)     		ty = 9268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39980 / 9268 ti = "16/39980/9268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39980/9268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39980 ÷ 216
    39980 ÷ 65536     		x = 0.61004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9268 ÷ 216
    9268 ÷ 65536     		y = 0.14141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61004638671875 × 2 - 1) × π
    0.2200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69144184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14141845703125 × 2 - 1) × π
    0.7171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69144184} λ = 0.69144184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25303428214264))-π/2
    2×atan(9.51656802415597)-π/2
    2×1.46610064280616-π/2
    2.93220128561232-1.57079632675     		φ = 1.36140496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69144184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.616699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36140496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.002758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39980 KachelY 9268 0.69144184 1.36140496 39.616699 78.002758
    Oben rechts KachelX + 1 39981 KachelY 9268 0.69153771 1.36140496 39.622192 78.002758
    Unten links KachelX 39980 KachelY + 1 9269 0.69144184 1.36138503 39.616699 78.001617
    Unten rechts KachelX + 1 39981 KachelY + 1 9269 0.69153771 1.36138503 39.622192 78.001617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36140496-1.36138503) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36140496-1.36138503) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69144184-0.69153771) × cos(1.36140496) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207864599182176 × 6371000     		do = 126.961154996422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69144184-0.69153771) × cos(1.36138503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207884093822043 × 6371000     		du = 126.973062084034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36140496)-sin(1.36138503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207864599182176-0.207884093822043)×R²
    abs(0.69153771-0.69144184)×1.94946398672513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94946398672513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94946398672513e-05×40589641000000     		ar = 16121.5254493407m²