Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39979 / 41580
↖ ↑ ↗
← S 43.500753°
E 39.611206°		 ← 443.04 m → S 43.500753°
E 39.616699°		 →
↑
443.04 m
↓
↑
443.04 m
↓
S 43.504737°
E 39.611206°		 ← 443.02 m →
196 280 m²		 S 43.504737°
E 39.616699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610038757324219 y=0.634468078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610038757324219 × 216)
    floor (0.610038757324219 × 65536)
    floor (39979.5)     		tx = 39979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634468078613281 × 216)
    floor (0.634468078613281 × 65536)
    floor (41580.5)     		ty = 41580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39979 / 41580 ti = "16/39979/41580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39979/41580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39979 ÷ 216
    39979 ÷ 65536     		x = 0.610031127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41580 ÷ 216
    41580 ÷ 65536     		y = 0.63446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610031127929688 × 2 - 1) × π
    0.220062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69134597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.2689208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.84483991890387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69134597} λ = 0.69134597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84483991890387))-π/2
    2×atan(0.429626127727695)-π/2
    2×0.405782484857336-π/2
    0.811564969714672-1.57079632675     		φ = -0.75923136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69134597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.611206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75923136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.500753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39979 KachelY 41580 0.69134597 -0.75923136 39.611206 -43.500753
    Oben rechts KachelX + 1 39980 KachelY 41580 0.69144184 -0.75923136 39.616699 -43.500753
    Unten links KachelX 39979 KachelY + 1 41581 0.69134597 -0.75930090 39.611206 -43.504737
    Unten rechts KachelX + 1 39980 KachelY + 1 41581 0.69144184 -0.75930090 39.616699 -43.504737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75923136--0.75930090) × R
    6.95399999999236e-05 × 6371000     		dl = 443.039339999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75923136--0.75930090) × R
    6.95399999999236e-05 × 6371000     		dr = 443.039339999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69134597-0.69144184) × cos(-0.75923136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725365329149086 × 6371000     		do = 443.044271826277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69134597-0.69144184) × cos(-0.75930090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725317458555488 × 6371000     		du = 443.015033053164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75923136)-sin(-0.75930090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725365329149086-0.725317458555488)×R²
    abs(0.69144184-0.69134597)×4.78705935978985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78705935978985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78705935978985e-05×40589641000000     		ar = 196279.564896317m²