Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39975 / 42061
↖ ↑ ↗
← S 45.386878°
E 39.589233°		 ← 428.97 m → S 45.386878°
E 39.594726°		 →
↑
428.96 m
↓
↑
428.96 m
↓
S 45.390735°
E 39.589233°		 ← 428.94 m →
184 003 m²		 S 45.390735°
E 39.594726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609977722167969 y=0.641807556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609977722167969 × 216)
    floor (0.609977722167969 × 65536)
    floor (39975.5)     		tx = 39975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641807556152344 × 216)
    floor (0.641807556152344 × 65536)
    floor (42061.5)     		ty = 42061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39975 / 42061 ti = "16/39975/42061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39975/42061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39975 ÷ 216
    39975 ÷ 65536     		x = 0.609970092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42061 ÷ 216
    42061 ÷ 65536     		y = 0.641799926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609970092773438 × 2 - 1) × π
    0.219940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69096247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641799926757812 × 2 - 1) × π
    -0.283599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890955216338364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69096247} λ = 0.69096247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890955216338364))-π/2
    2×atan(0.410263674957244)-π/2
    2×0.389322939943315-π/2
    0.77864587988663-1.57079632675     		φ = -0.79215045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69096247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.589233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79215045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.386878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39975 KachelY 42061 0.69096247 -0.79215045 39.589233 -45.386878
    Oben rechts KachelX + 1 39976 KachelY 42061 0.69105834 -0.79215045 39.594726 -45.386878
    Unten links KachelX 39975 KachelY + 1 42062 0.69096247 -0.79221778 39.589233 -45.390735
    Unten rechts KachelX + 1 39976 KachelY + 1 42062 0.69105834 -0.79221778 39.594726 -45.390735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79215045--0.79221778) × R
    6.73300000000321e-05 × 6371000     		dl = 428.959430000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79215045--0.79221778) × R
    6.73300000000321e-05 × 6371000     		dr = 428.959430000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69096247-0.69105834) × cos(-0.79215045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70231611019203 × 6371000     		do = 428.966090779255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69096247-0.69105834) × cos(-0.79221778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702268178715366 × 6371000     		du = 428.93681481951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79215045)-sin(-0.79221778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70231611019203-0.702268178715366)×R²
    abs(0.69105834-0.69096247)×4.79314766645977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79314766645977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79314766645977e-05×40589641000000     		ar = 184002.770760306m²