Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39975 / 41927
↖ ↑ ↗
← S 44.867550°
E 39.589233°		 ← 432.89 m → S 44.867550°
E 39.594726°		 →
↑
432.91 m
↓
↑
432.91 m
↓
S 44.871443°
E 39.589233°		 ← 432.86 m →
187 396 m²		 S 44.871443°
E 39.594726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609977722167969 y=0.639762878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609977722167969 × 216)
    floor (0.609977722167969 × 65536)
    floor (39975.5)     		tx = 39975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639762878417969 × 216)
    floor (0.639762878417969 × 65536)
    floor (41927.5)     		ty = 41927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39975 / 41927 ti = "16/39975/41927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39975/41927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39975 ÷ 216
    39975 ÷ 65536     		x = 0.609970092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41927 ÷ 216
    41927 ÷ 65536     		y = 0.639755249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609970092773438 × 2 - 1) × π
    0.219940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69096247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639755249023438 × 2 - 1) × π
    -0.279510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.878108127240189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69096247} λ = 0.69096247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878108127240189))-π/2
    2×atan(0.415568370933633)-π/2
    2×0.393854928976635-π/2
    0.78770985795327-1.57079632675     		φ = -0.78308647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69096247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.589233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78308647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.867550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39975 KachelY 41927 0.69096247 -0.78308647 39.589233 -44.867550
    Oben rechts KachelX + 1 39976 KachelY 41927 0.69105834 -0.78308647 39.594726 -44.867550
    Unten links KachelX 39975 KachelY + 1 41928 0.69096247 -0.78315442 39.589233 -44.871443
    Unten rechts KachelX + 1 39976 KachelY + 1 41928 0.69105834 -0.78315442 39.594726 -44.871443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78308647--0.78315442) × R
    6.79500000000388e-05 × 6371000     		dl = 432.909450000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78308647--0.78315442) × R
    6.79500000000388e-05 × 6371000     		dr = 432.909450000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69096247-0.69105834) × cos(-0.78308647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708739504445588 × 6371000     		do = 432.889421431216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69096247-0.69105834) × cos(-0.78315442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708691566103956 × 6371000     		du = 432.860141278434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78308647)-sin(-0.78315442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708739504445588-0.708691566103956)×R²
    abs(0.69105834-0.69096247)×4.79383416318591e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79383416318591e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79383416318591e-05×40589641000000     		ar = 187395.583587265m²