Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39975 / 41571
↖ ↑ ↗
← S 43.464881°
E 39.589233°		 ← 443.31 m → S 43.464881°
E 39.594726°		 →
↑
443.29 m
↓
↑
443.29 m
↓
S 43.468868°
E 39.589233°		 ← 443.28 m →
196 509 m²		 S 43.468868°
E 39.594726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609977722167969 y=0.634330749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609977722167969 × 216)
    floor (0.609977722167969 × 65536)
    floor (39975.5)     		tx = 39975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634330749511719 × 216)
    floor (0.634330749511719 × 65536)
    floor (41571.5)     		ty = 41571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39975 / 41571 ti = "16/39975/41571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39975/41571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39975 ÷ 216
    39975 ÷ 65536     		x = 0.609970092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41571 ÷ 216
    41571 ÷ 65536     		y = 0.634323120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609970092773438 × 2 - 1) × π
    0.219940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69096247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634323120117188 × 2 - 1) × π
    -0.268646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.843977054710709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69096247} λ = 0.69096247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843977054710709))-π/2
    2×atan(0.429996996711531)-π/2
    2×0.406095523680311-π/2
    0.812191047360622-1.57079632675     		φ = -0.75860528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69096247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.589233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75860528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.464881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39975 KachelY 41571 0.69096247 -0.75860528 39.589233 -43.464881
    Oben rechts KachelX + 1 39976 KachelY 41571 0.69105834 -0.75860528 39.594726 -43.464881
    Unten links KachelX 39975 KachelY + 1 41572 0.69096247 -0.75867486 39.589233 -43.468868
    Unten rechts KachelX + 1 39976 KachelY + 1 41572 0.69105834 -0.75867486 39.594726 -43.468868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75860528--0.75867486) × R
    6.95799999999025e-05 × 6371000     		dl = 443.294179999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75860528--0.75867486) × R
    6.95799999999025e-05 × 6371000     		dr = 443.294179999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69096247-0.69105834) × cos(-0.75860528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725796157956022 × 6371000     		do = 443.307416792517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69096247-0.69105834) × cos(-0.75867486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.725748291433017 × 6371000     		du = 443.278180505673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75860528)-sin(-0.75867486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725796157956022-0.725748291433017)×R²
    abs(0.69105834-0.69096247)×4.78665230048136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78665230048136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78665230048136e-05×40589641000000     		ar = 196509.117756015m²