Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39968 / 41578
↖ ↑ ↗
← S 43.492783°
E 39.550781°		 ← 443.15 m → S 43.492783°
E 39.556275°		 →
↑
443.10 m
↓
↑
443.10 m
↓
S 43.496768°
E 39.550781°		 ← 443.12 m →
196 354 m²		 S 43.496768°
E 39.556275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609870910644531 y=0.634437561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609870910644531 × 216)
    floor (0.609870910644531 × 65536)
    floor (39968.5)     		tx = 39968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634437561035156 × 216)
    floor (0.634437561035156 × 65536)
    floor (41578.5)     		ty = 41578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39968 / 41578 ti = "16/39968/41578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39968/41578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39968 ÷ 216
    39968 ÷ 65536     		x = 0.60986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41578 ÷ 216
    41578 ÷ 65536     		y = 0.634429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.26885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844648171305389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69029135} λ = 0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844648171305389))-π/2
    2×atan(0.429708515404499)-π/2
    2×0.405852032977049-π/2
    0.811704065954099-1.57079632675     		φ = -0.75909226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75909226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.492783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39968 KachelY 41578 0.69029135 -0.75909226 39.550781 -43.492783
    Oben rechts KachelX + 1 39969 KachelY 41578 0.69038723 -0.75909226 39.556275 -43.492783
    Unten links KachelX 39968 KachelY + 1 41579 0.69029135 -0.75916181 39.550781 -43.496768
    Unten rechts KachelX + 1 39969 KachelY + 1 41579 0.69038723 -0.75916181 39.556275 -43.496768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75909226--0.75916181) × R
    6.95500000000848e-05 × 6371000     		dl = 443.10305000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75909226--0.75916181) × R
    6.95500000000848e-05 × 6371000     		dr = 443.10305000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69029135-0.69038723) × cos(-0.75909226) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.725461073578125 × 6371000     		do = 443.148970477809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69029135-0.69038723) × cos(-0.75916181) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.725413203118091 × 6371000     		du = 443.119728736449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75909226)-sin(-0.75916181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725461073578125-0.725413203118091)×R²
    abs(0.69038723-0.69029135)×4.78704600340718e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78704600340718e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78704600340718e-05×40589641000000     		ar = 196354.181950192m²