Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39965 / 41485
↖ ↑ ↗
← S 43.121034°
E 39.534302°		 ← 445.87 m → S 43.121034°
E 39.539795°		 →
↑
445.78 m
↓
↑
445.78 m
↓
S 43.125043°
E 39.534302°		 ← 445.84 m →
198 752 m²		 S 43.125043°
E 39.539795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609825134277344 y=0.633018493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609825134277344 × 216)
    floor (0.609825134277344 × 65536)
    floor (39965.5)     		tx = 39965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633018493652344 × 216)
    floor (0.633018493652344 × 65536)
    floor (41485.5)     		ty = 41485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39965 / 41485 ti = "16/39965/41485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39965/41485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39965 ÷ 216
    39965 ÷ 65536     		x = 0.609817504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41485 ÷ 216
    41485 ÷ 65536     		y = 0.633010864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609817504882812 × 2 - 1) × π
    0.219635009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69000373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633010864257812 × 2 - 1) × π
    -0.266021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.835731907976059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69000373} λ = 0.69000373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835731907976059))-π/2
    2×atan(0.43355704142203)-π/2
    2×0.409096155280859-π/2
    0.818192310561718-1.57079632675     		φ = -0.75260402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69000373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.534302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75260402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.121034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39965 KachelY 41485 0.69000373 -0.75260402 39.534302 -43.121034
    Oben rechts KachelX + 1 39966 KachelY 41485 0.69009961 -0.75260402 39.539795 -43.121034
    Unten links KachelX 39965 KachelY + 1 41486 0.69000373 -0.75267399 39.534302 -43.125043
    Unten rechts KachelX + 1 39966 KachelY + 1 41486 0.69009961 -0.75267399 39.539795 -43.125043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75260402--0.75267399) × R
    6.99699999999748e-05 × 6371000     		dl = 445.778869999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75260402--0.75267399) × R
    6.99699999999748e-05 × 6371000     		dr = 445.778869999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69000373-0.69009961) × cos(-0.75260402) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729911389155468 × 6371000     		do = 445.867452334181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69000373-0.69009961) × cos(-0.75267399) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729863559950463 × 6371000     		du = 445.838235793517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75260402)-sin(-0.75267399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729911389155468-0.729863559950463)×R²
    abs(0.69009961-0.69000373)×4.78292050055673e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78292050055673e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78292050055673e-05×40589641000000     		ar = 198751.777093791m²