Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39963 / 41465
↖ ↑ ↗
← S 43.040791°
E 39.523316°		 ← 446.41 m → S 43.040791°
E 39.528809°		 →
↑
446.42 m
↓
↑
446.42 m
↓
S 43.044805°
E 39.523316°		 ← 446.38 m →
199 276 m²		 S 43.044805°
E 39.528809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609794616699219 y=0.632713317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609794616699219 × 216)
    floor (0.609794616699219 × 65536)
    floor (39963.5)     		tx = 39963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632713317871094 × 216)
    floor (0.632713317871094 × 65536)
    floor (41465.5)     		ty = 41465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39963 / 41465 ti = "16/39963/41465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39963/41465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39963 ÷ 216
    39963 ÷ 65536     		x = 0.609786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41465 ÷ 216
    41465 ÷ 65536     		y = 0.632705688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609786987304688 × 2 - 1) × π
    0.219573974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68981199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632705688476562 × 2 - 1) × π
    -0.265411376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.833814431991257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68981199} λ = 0.68981199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833814431991257))-π/2
    2×atan(0.434389174179329)-π/2
    2×0.40979640763587-π/2
    0.81959281527174-1.57079632675     		φ = -0.75120351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68981199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.523316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75120351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.040791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39963 KachelY 41465 0.68981199 -0.75120351 39.523316 -43.040791
    Oben rechts KachelX + 1 39964 KachelY 41465 0.68990786 -0.75120351 39.528809 -43.040791
    Unten links KachelX 39963 KachelY + 1 41466 0.68981199 -0.75127358 39.523316 -43.044805
    Unten rechts KachelX + 1 39964 KachelY + 1 41466 0.68990786 -0.75127358 39.528809 -43.044805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75120351--0.75127358) × R
    7.00700000000332e-05 × 6371000     		dl = 446.415970000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75120351--0.75127358) × R
    7.00700000000332e-05 × 6371000     		dr = 446.415970000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68981199-0.68990786) × cos(-0.75120351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730867980105482 × 6371000     		do = 446.405223733022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68981199-0.68990786) × cos(-0.75127358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73082015421472 × 6371000     		du = 446.376012263855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75120351)-sin(-0.75127358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730867980105482-0.73082015421472)×R²
    abs(0.68990786-0.68981199)×4.78258907625762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78258907625762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78258907625762e-05×40589641000000     		ar = 199275.900814525m²