Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39961 / 42057
↖ ↑ ↗
← S 45.371444°
E 39.512329°		 ← 429.08 m → S 45.371444°
E 39.517822°		 →
↑
429.09 m
↓
↑
429.09 m
↓
S 45.375303°
E 39.512329°		 ← 429.05 m →
184 108 m²		 S 45.375303°
E 39.517822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609764099121094 y=0.641746520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609764099121094 × 216)
    floor (0.609764099121094 × 65536)
    floor (39961.5)     		tx = 39961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641746520996094 × 216)
    floor (0.641746520996094 × 65536)
    floor (42057.5)     		ty = 42057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39961 / 42057 ti = "16/39961/42057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39961/42057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39961 ÷ 216
    39961 ÷ 65536     		x = 0.609756469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42057 ÷ 216
    42057 ÷ 65536     		y = 0.641738891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609756469726562 × 2 - 1) × π
    0.219512939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68962024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641738891601562 × 2 - 1) × π
    -0.283477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890571721141403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68962024} λ = 0.68962024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890571721141403))-π/2
    2×atan(0.410421039278379)-π/2
    2×0.389457625753179-π/2
    0.778915251506358-1.57079632675     		φ = -0.79188108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68962024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.512329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79188108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.371444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39961 KachelY 42057 0.68962024 -0.79188108 39.512329 -45.371444
    Oben rechts KachelX + 1 39962 KachelY 42057 0.68971611 -0.79188108 39.517822 -45.371444
    Unten links KachelX 39961 KachelY + 1 42058 0.68962024 -0.79194843 39.512329 -45.375303
    Unten rechts KachelX + 1 39962 KachelY + 1 42058 0.68971611 -0.79194843 39.517822 -45.375303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79188108--0.79194843) × R
    6.73500000000216e-05 × 6371000     		dl = 429.086850000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79188108--0.79194843) × R
    6.73500000000216e-05 × 6371000     		dr = 429.086850000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68962024-0.68971611) × cos(-0.79188108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702507839842018 × 6371000     		do = 429.083196904614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68962024-0.68971611) × cos(-0.79194843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702459906869875 × 6371000     		du = 429.053920031449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79188108)-sin(-0.79194843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702507839842018-0.702459906869875)×R²
    abs(0.68971611-0.68962024)×4.79329721425614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79329721425614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79329721425614e-05×40589641000000     		ar = 184107.676256789m²