Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39960 / 42064
↖ ↑ ↗
← S 45.398450°
E 39.506836°		 ← 428.92 m → S 45.398450°
E 39.512329°		 →
↑
428.83 m
↓
↑
428.83 m
↓
S 45.402307°
E 39.506836°		 ← 428.89 m →
183 930 m²		 S 45.402307°
E 39.512329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609748840332031 y=0.641853332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609748840332031 × 216)
    floor (0.609748840332031 × 65536)
    floor (39960.5)     		tx = 39960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641853332519531 × 216)
    floor (0.641853332519531 × 65536)
    floor (42064.5)     		ty = 42064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39960 / 42064 ti = "16/39960/42064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39960/42064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39960 ÷ 216
    39960 ÷ 65536     		x = 0.6097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42064 ÷ 216
    42064 ÷ 65536     		y = 0.641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6097412109375 × 2 - 1) × π
    0.219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68952436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.28369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891242837736084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68952436} λ = 0.68952436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891242837736084))-π/2
    2×atan(0.410145691313742)-π/2
    2×0.389221949712168-π/2
    0.778443899424335-1.57079632675     		φ = -0.79235243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68952436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.506836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79235243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.398450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39960 KachelY 42064 0.68952436 -0.79235243 39.506836 -45.398450
    Oben rechts KachelX + 1 39961 KachelY 42064 0.68962024 -0.79235243 39.512329 -45.398450
    Unten links KachelX 39960 KachelY + 1 42065 0.68952436 -0.79241974 39.506836 -45.402307
    Unten rechts KachelX + 1 39961 KachelY + 1 42065 0.68962024 -0.79241974 39.512329 -45.402307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79235243--0.79241974) × R
    6.73100000000426e-05 × 6371000     		dl = 428.832010000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79235243--0.79241974) × R
    6.73100000000426e-05 × 6371000     		dr = 428.832010000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68952436-0.68962024) × cos(-0.79235243) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.702172313331486 × 6371000     		do = 428.922996813778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68952436-0.68962024) × cos(-0.79241974) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.702124386546195 × 6371000     		du = 428.893720666051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79235243)-sin(-0.79241974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702172313331486-0.702124386546195)×R²
    abs(0.68962024-0.68952436)×4.79267852914189e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79267852914189e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79267852914189e-05×40589641000000     		ar = 183929.633653611m²