Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39958 / 42036
↖ ↑ ↗
← S 45.290347°
E 39.495850°		 ← 429.70 m → S 45.290347°
E 39.501343°		 →
↑
429.66 m
↓
↑
429.66 m
↓
S 45.294211°
E 39.495850°		 ← 429.67 m →
184 618 m²		 S 45.294211°
E 39.501343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609718322753906 y=0.641426086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609718322753906 × 216)
    floor (0.609718322753906 × 65536)
    floor (39958.5)     		tx = 39958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641426086425781 × 216)
    floor (0.641426086425781 × 65536)
    floor (42036.5)     		ty = 42036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39958 / 42036 ti = "16/39958/42036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39958/42036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39958 ÷ 216
    39958 ÷ 65536     		x = 0.609710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42036 ÷ 216
    42036 ÷ 65536     		y = 0.64141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609710693359375 × 2 - 1) × π
    0.21942138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68933262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.2828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.888558371357361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68933262} λ = 0.68933262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888558371357361))-π/2
    2×atan(0.411248192784432)-π/2
    2×0.390165329420809-π/2
    0.780330658841617-1.57079632675     		φ = -0.79046567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68933262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.495850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79046567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.290347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39958 KachelY 42036 0.68933262 -0.79046567 39.495850 -45.290347
    Oben rechts KachelX + 1 39959 KachelY 42036 0.68942849 -0.79046567 39.501343 -45.290347
    Unten links KachelX 39958 KachelY + 1 42037 0.68933262 -0.79053311 39.495850 -45.294211
    Unten rechts KachelX + 1 39959 KachelY + 1 42037 0.68942849 -0.79053311 39.501343 -45.294211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79046567--0.79053311) × R
    6.74400000000297e-05 × 6371000     		dl = 429.660240000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79046567--0.79053311) × R
    6.74400000000297e-05 × 6371000     		dr = 429.660240000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68933262-0.68942849) × cos(-0.79046567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703514449141908 × 6371000     		do = 429.698021554155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68933262-0.68942849) × cos(-0.79053311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703466519218491 × 6371000     		du = 429.668746543115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79046567)-sin(-0.79053311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703514449141908-0.703466519218491)×R²
    abs(0.68942849-0.68933262)×4.79299234170671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79299234170671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79299234170671e-05×40589641000000     		ar = 184617.865984416m²