Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39955 / 9271
↖ ↑ ↗
← N 77.999332°
E 39.479370°		 ← 127 m → N 77.999332°
E 39.484863°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
N 77.998190°
E 39.479370°		 ← 127.01 m →
16 126 m²		 N 77.998190°
E 39.484863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609672546386719 y=0.141471862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609672546386719 × 216)
    floor (0.609672546386719 × 65536)
    floor (39955.5)     		tx = 39955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141471862792969 × 216)
    floor (0.141471862792969 × 65536)
    floor (9271.5)     		ty = 9271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39955 / 9271 ti = "16/39955/9271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39955/9271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39955 ÷ 216
    39955 ÷ 65536     		x = 0.609664916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9271 ÷ 216
    9271 ÷ 65536     		y = 0.141464233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609664916992188 × 2 - 1) × π
    0.219329833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68904500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141464233398438 × 2 - 1) × π
    0.717071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25274666074492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68904500} λ = 0.68904500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25274666074492))-π/2
    2×atan(9.51383124915576)-π/2
    2×1.46607074544728-π/2
    2.93214149089457-1.57079632675     		φ = 1.36134516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68904500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.479370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36134516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.999332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39955 KachelY 9271 0.68904500 1.36134516 39.479370 77.999332
    Oben rechts KachelX + 1 39956 KachelY 9271 0.68914087 1.36134516 39.484863 77.999332
    Unten links KachelX 39955 KachelY + 1 9272 0.68904500 1.36132523 39.479370 77.998190
    Unten rechts KachelX + 1 39956 KachelY + 1 9272 0.68914087 1.36132523 39.484863 77.998190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36134516-1.36132523) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dl = 126.974029999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36134516-1.36132523) × R
    1.99299999998903e-05 × 6371000     		dr = 126.974029999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68904500-0.68914087) × cos(1.36134516) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207923092635505 × 6371000     		do = 126.996882082341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68904500-0.68914087) × cos(1.36132523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207942587027589 × 6371000     		du = 127.00878901861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36134516)-sin(1.36132523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207923092635505-0.207942587027589)×R²
    abs(0.68914087-0.68904500)×1.94943920848456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94943920848456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94943920848456e-05×40589641000000     		ar = 16126.061851729m²