Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39955 / 42033
↖ ↑ ↗
← S 45.278752°
E 39.479370°		 ← 429.79 m → S 45.278752°
E 39.484863°		 →
↑
429.79 m
↓
↑
429.79 m
↓
S 45.282617°
E 39.479370°		 ← 429.76 m →
184 710 m²		 S 45.282617°
E 39.484863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609672546386719 y=0.641380310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609672546386719 × 216)
    floor (0.609672546386719 × 65536)
    floor (39955.5)     		tx = 39955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641380310058594 × 216)
    floor (0.641380310058594 × 65536)
    floor (42033.5)     		ty = 42033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39955 / 42033 ti = "16/39955/42033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39955/42033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39955 ÷ 216
    39955 ÷ 65536     		x = 0.609664916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42033 ÷ 216
    42033 ÷ 65536     		y = 0.641372680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609664916992188 × 2 - 1) × π
    0.219329833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68904500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641372680664062 × 2 - 1) × π
    -0.282745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.888270749959641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68904500} λ = 0.68904500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888270749959641))-π/2
    2×atan(0.411366493576555)-π/2
    2×0.390266512665849-π/2
    0.780533025331697-1.57079632675     		φ = -0.79026330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68904500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.479370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79026330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.278752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39955 KachelY 42033 0.68904500 -0.79026330 39.479370 -45.278752
    Oben rechts KachelX + 1 39956 KachelY 42033 0.68914087 -0.79026330 39.484863 -45.278752
    Unten links KachelX 39955 KachelY + 1 42034 0.68904500 -0.79033076 39.479370 -45.282617
    Unten rechts KachelX + 1 39956 KachelY + 1 42034 0.68914087 -0.79033076 39.484863 -45.282617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79026330--0.79033076) × R
    6.74600000000192e-05 × 6371000     		dl = 429.787660000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79026330--0.79033076) × R
    6.74600000000192e-05 × 6371000     		dr = 429.787660000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68904500-0.68914087) × cos(-0.79026330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703658255240066 × 6371000     		do = 429.785856560162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68904500-0.68914087) × cos(-0.79033076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703610320707031 × 6371000     		du = 429.756578733623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79026330)-sin(-0.79033076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703658255240066-0.703610320707031)×R²
    abs(0.68914087-0.68904500)×4.79345330358649e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79345330358649e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79345330358649e-05×40589641000000     		ar = 184710.366037708m²