Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39954 / 9270
↖ ↑ ↗
← N 78.000475°
E 39.473877°		 ← 127 m → N 78.000475°
E 39.479370°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 77.999332°
E 39.473877°		 ← 127.01 m →
16 134 m²		 N 77.999332°
E 39.479370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609657287597656 y=0.141456604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609657287597656 × 216)
    floor (0.609657287597656 × 65536)
    floor (39954.5)     		tx = 39954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141456604003906 × 216)
    floor (0.141456604003906 × 65536)
    floor (9270.5)     		ty = 9270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39954 / 9270 ti = "16/39954/9270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39954/9270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39954 ÷ 216
    39954 ÷ 65536     		x = 0.609649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9270 ÷ 216
    9270 ÷ 65536     		y = 0.141448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609649658203125 × 2 - 1) × π
    0.21929931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68894912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141448974609375 × 2 - 1) × π
    0.71710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25284253454416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68894912} λ = 0.68894912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25284253454416))-π/2
    2×atan(9.51474342002889)-π/2
    2×1.46608071216817-π/2
    2.93216142433635-1.57079632675     		φ = 1.36136510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68894912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.473877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36136510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.000475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39954 KachelY 9270 0.68894912 1.36136510 39.473877 78.000475
    Oben rechts KachelX + 1 39955 KachelY 9270 0.68904500 1.36136510 39.479370 78.000475
    Unten links KachelX 39954 KachelY + 1 9271 0.68894912 1.36134516 39.473877 77.999332
    Unten rechts KachelX + 1 39955 KachelY + 1 9271 0.68904500 1.36134516 39.479370 77.999332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36136510-1.36134516) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dl = 127.037740000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36136510-1.36134516) × R
    1.99400000000516e-05 × 6371000     		dr = 127.037740000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68894912-0.68904500) × cos(1.36136510) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207903588379338 × 6371000     		do = 126.998214658893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68894912-0.68904500) × cos(1.36134516) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.207923092635505 × 6371000     		du = 127.010128862639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36136510)-sin(1.36134516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207903588379338-0.207923092635505)×R²
    abs(0.68904500-0.68894912)×1.95042561662584e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.95042561662584e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.95042561662584e-05×40589641000000     		ar = 16134.3229518187m²