Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39953 / 9393
↖ ↑ ↗
← N 77.859190°
E 39.468384°		 ← 128.46 m → N 77.859190°
E 39.473877°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
N 77.858034°
E 39.468384°		 ← 128.47 m →
16 508 m²		 N 77.858034°
E 39.473877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609642028808594 y=0.143333435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609642028808594 × 216)
    floor (0.609642028808594 × 65536)
    floor (39953.5)     		tx = 39953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143333435058594 × 216)
    floor (0.143333435058594 × 65536)
    floor (9393.5)     		ty = 9393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39953 / 9393 ti = "16/39953/9393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39953/9393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39953 ÷ 216
    39953 ÷ 65536     		x = 0.609634399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9393 ÷ 216
    9393 ÷ 65536     		y = 0.143325805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609634399414062 × 2 - 1) × π
    0.219268798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68885325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143325805664062 × 2 - 1) × π
    0.713348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24105005723763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68885325} λ = 0.68885325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24105005723763))-π/2
    2×atan(9.40320000339809)-π/2
    2×1.46484776699896-π/2
    2.92969553399792-1.57079632675     		φ = 1.35889921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68885325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.468384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35889921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.859190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39953 KachelY 9393 0.68885325 1.35889921 39.468384 77.859190
    Oben rechts KachelX + 1 39954 KachelY 9393 0.68894912 1.35889921 39.473877 77.859190
    Unten links KachelX 39953 KachelY + 1 9394 0.68885325 1.35887904 39.468384 77.858034
    Unten rechts KachelX + 1 39954 KachelY + 1 9394 0.68894912 1.35887904 39.473877 77.858034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35889921-1.35887904) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35889921-1.35887904) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68885325-0.68894912) × cos(1.35889921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21031496247847 × 6371000     		do = 128.457806929855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68885325-0.68894912) × cos(1.35887904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210334681307057 × 6371000     		du = 128.469850949195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35889921)-sin(1.35887904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21031496247847-0.210334681307057)×R²
    abs(0.68894912-0.68885325)×1.97188285873673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97188285873673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97188285873673e-05×40589641000000     		ar = 16507.9964033096m²