Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39951 / 42069
↖ ↑ ↗
← S 45.417732°
E 39.457397°		 ← 428.73 m → S 45.417732°
E 39.462890°		 →
↑
428.70 m
↓
↑
428.70 m
↓
S 45.421588°
E 39.457397°		 ← 428.70 m →
183 793 m²		 S 45.421588°
E 39.462890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609611511230469 y=0.641929626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609611511230469 × 216)
    floor (0.609611511230469 × 65536)
    floor (39951.5)     		tx = 39951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641929626464844 × 216)
    floor (0.641929626464844 × 65536)
    floor (42069.5)     		ty = 42069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39951 / 42069 ti = "16/39951/42069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39951/42069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39951 ÷ 216
    39951 ÷ 65536     		x = 0.609603881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42069 ÷ 216
    42069 ÷ 65536     		y = 0.641921997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609603881835938 × 2 - 1) × π
    0.219207763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68866150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641921997070312 × 2 - 1) × π
    -0.283843994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891722206732285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68866150} λ = 0.68866150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891722206732285))-π/2
    2×atan(0.409949127302511)-π/2
    2×0.389053678614679-π/2
    0.778107357229357-1.57079632675     		φ = -0.79268897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68866150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.457397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79268897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.417732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39951 KachelY 42069 0.68866150 -0.79268897 39.457397 -45.417732
    Oben rechts KachelX + 1 39952 KachelY 42069 0.68875737 -0.79268897 39.462890 -45.417732
    Unten links KachelX 39951 KachelY + 1 42070 0.68866150 -0.79275626 39.457397 -45.421588
    Unten rechts KachelX + 1 39952 KachelY + 1 42070 0.68875737 -0.79275626 39.462890 -45.421588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79268897--0.79275626) × R
    6.72899999999421e-05 × 6371000     		dl = 428.704589999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79268897--0.79275626) × R
    6.72899999999421e-05 × 6371000     		dr = 428.704589999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68866150-0.68875737) × cos(-0.79268897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701932654718933 × 6371000     		do = 428.731880865948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68866150-0.68875737) × cos(-0.79275626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701884726276747 × 6371000     		du = 428.702606759625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79268897)-sin(-0.79275626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701932654718933-0.701884726276747)×R²
    abs(0.68875737-0.68866150)×4.79284421864845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79284421864845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79284421864845e-05×40589641000000     		ar = 183793.050303648m²