Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39950 / 42062
↖ ↑ ↗
← S 45.390735°
E 39.451905°		 ← 428.94 m → S 45.390735°
E 39.457397°		 →
↑
428.96 m
↓
↑
428.96 m
↓
S 45.394593°
E 39.451905°		 ← 428.91 m →
183 990 m²		 S 45.394593°
E 39.457397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609596252441406 y=0.641822814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609596252441406 × 216)
    floor (0.609596252441406 × 65536)
    floor (39950.5)     		tx = 39950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641822814941406 × 216)
    floor (0.641822814941406 × 65536)
    floor (42062.5)     		ty = 42062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39950 / 42062 ti = "16/39950/42062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39950/42062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39950 ÷ 216
    39950 ÷ 65536     		x = 0.609588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42062 ÷ 216
    42062 ÷ 65536     		y = 0.641815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609588623046875 × 2 - 1) × π
    0.21917724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68856563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.28363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.891051090137604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68856563} λ = 0.68856563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891051090137604))-π/2
    2×atan(0.410224343305503)-π/2
    2×0.389289274235201-π/2
    0.778578548470403-1.57079632675     		φ = -0.79221778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68856563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.451905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79221778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.390735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39950 KachelY 42062 0.68856563 -0.79221778 39.451905 -45.390735
    Oben rechts KachelX + 1 39951 KachelY 42062 0.68866150 -0.79221778 39.457397 -45.390735
    Unten links KachelX 39950 KachelY + 1 42063 0.68856563 -0.79228511 39.451905 -45.394593
    Unten rechts KachelX + 1 39951 KachelY + 1 42063 0.68866150 -0.79228511 39.457397 -45.394593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79221778--0.79228511) × R
    6.73300000000321e-05 × 6371000     		dl = 428.959430000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79221778--0.79228511) × R
    6.73300000000321e-05 × 6371000     		dr = 428.959430000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68856563-0.68866150) × cos(-0.79221778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702268178715366 × 6371000     		do = 428.93681481951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68856563-0.68866150) × cos(-0.79228511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702220244055088 × 6371000     		du = 428.907536915254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79221778)-sin(-0.79228511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702268178715366-0.702220244055088)×R²
    abs(0.68866150-0.68856563)×4.79346602773045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79346602773045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79346602773045e-05×40589641000000     		ar = 183990.212143767m²