Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39945 / 42075
↖ ↑ ↗
← S 45.440863°
E 39.424439°		 ← 428.56 m → S 45.440863°
E 39.429932°		 →
↑
428.58 m
↓
↑
428.58 m
↓
S 45.444717°
E 39.424439°		 ← 428.53 m →
183 663 m²		 S 45.444717°
E 39.429932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609519958496094 y=0.642021179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609519958496094 × 216)
    floor (0.609519958496094 × 65536)
    floor (39945.5)     		tx = 39945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642021179199219 × 216)
    floor (0.642021179199219 × 65536)
    floor (42075.5)     		ty = 42075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39945 / 42075 ti = "16/39945/42075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39945/42075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39945 ÷ 216
    39945 ÷ 65536     		x = 0.609512329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42075 ÷ 216
    42075 ÷ 65536     		y = 0.642013549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609512329101562 × 2 - 1) × π
    0.219024658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68808626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642013549804688 × 2 - 1) × π
    -0.284027099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.892297449527725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68808626} λ = 0.68808626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892297449527725))-π/2
    2×atan(0.409713374834489)-π/2
    2×0.388851829121806-π/2
    0.777703658243612-1.57079632675     		φ = -0.79309267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68808626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.424439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79309267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.440863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39945 KachelY 42075 0.68808626 -0.79309267 39.424439 -45.440863
    Oben rechts KachelX + 1 39946 KachelY 42075 0.68818213 -0.79309267 39.429932 -45.440863
    Unten links KachelX 39945 KachelY + 1 42076 0.68808626 -0.79315994 39.424439 -45.444717
    Unten rechts KachelX + 1 39946 KachelY + 1 42076 0.68818213 -0.79315994 39.429932 -45.444717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79309267--0.79315994) × R
    6.72699999999526e-05 × 6371000     		dl = 428.577169999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79309267--0.79315994) × R
    6.72699999999526e-05 × 6371000     		dr = 428.577169999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68808626-0.68818213) × cos(-0.79309267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701645064899799 × 6371000     		do = 428.556224521644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68808626-0.68818213) × cos(-0.79315994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701597131645665 × 6371000     		du = 428.526947476242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79309267)-sin(-0.79315994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701645064899799-0.701597131645665)×R²
    abs(0.68818213-0.68808626)×4.79332541343247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79332541343247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79332541343247e-05×40589641000000     		ar = 183663.140223556m²