Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39943 / 42076
↖ ↑ ↗
← S 45.444717°
E 39.413452°		 ← 428.53 m → S 45.444717°
E 39.418945°		 →
↑
428.51 m
↓
↑
428.51 m
↓
S 45.448571°
E 39.413452°		 ← 428.50 m →
183 623 m²		 S 45.448571°
E 39.418945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609489440917969 y=0.642036437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609489440917969 × 216)
    floor (0.609489440917969 × 65536)
    floor (39943.5)     		tx = 39943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642036437988281 × 216)
    floor (0.642036437988281 × 65536)
    floor (42076.5)     		ty = 42076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39943 / 42076 ti = "16/39943/42076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39943/42076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39943 ÷ 216
    39943 ÷ 65536     		x = 0.609481811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42076 ÷ 216
    42076 ÷ 65536     		y = 0.64202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609481811523438 × 2 - 1) × π
    0.218963623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68789451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.2840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892393323326965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68789451} λ = 0.68789451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892393323326965))-π/2
    2×atan(0.409674095939583)-π/2
    2×0.388818195581548-π/2
    0.777636391163096-1.57079632675     		φ = -0.79315994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68789451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.413452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79315994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.444717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39943 KachelY 42076 0.68789451 -0.79315994 39.413452 -45.444717
    Oben rechts KachelX + 1 39944 KachelY 42076 0.68799038 -0.79315994 39.418945 -45.444717
    Unten links KachelX 39943 KachelY + 1 42077 0.68789451 -0.79322720 39.413452 -45.448571
    Unten rechts KachelX + 1 39944 KachelY + 1 42077 0.68799038 -0.79322720 39.418945 -45.448571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79315994--0.79322720) × R
    6.72600000000134e-05 × 6371000     		dl = 428.513460000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79315994--0.79322720) × R
    6.72600000000134e-05 × 6371000     		dr = 428.513460000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68789451-0.68799038) × cos(-0.79315994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701597131645665 × 6371000     		do = 428.526947476242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68789451-0.68799038) × cos(-0.79322720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701549202342836 × 6371000     		du = 428.49767284425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79315994)-sin(-0.79322720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701597131645665-0.701549202342836)×R²
    abs(0.68799038-0.68789451)×4.79293028284866e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79293028284866e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79293028284866e-05×40589641000000     		ar = 183623.292748966m²