Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39940 / 42015
↖ ↑ ↗
← S 45.209133°
E 39.396973°		 ← 430.31 m → S 45.209133°
E 39.402466°		 →
↑
430.36 m
↓
↑
430.36 m
↓
S 45.213004°
E 39.396973°		 ← 430.28 m →
185 184 m²		 S 45.213004°
E 39.402466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609443664550781 y=0.641105651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609443664550781 × 216)
    floor (0.609443664550781 × 65536)
    floor (39940.5)     		tx = 39940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641105651855469 × 216)
    floor (0.641105651855469 × 65536)
    floor (42015.5)     		ty = 42015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39940 / 42015 ti = "16/39940/42015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39940/42015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39940 ÷ 216
    39940 ÷ 65536     		x = 0.60943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42015 ÷ 216
    42015 ÷ 65536     		y = 0.641098022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641098022460938 × 2 - 1) × π
    -0.282196044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.886545021573318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68760689} λ = 0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886545021573318))-π/2
    2×atan(0.412077013317409)-π/2
    2×0.390874046430056-π/2
    0.781748092860111-1.57079632675     		φ = -0.78904823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78904823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.209133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39940 KachelY 42015 0.68760689 -0.78904823 39.396973 -45.209133
    Oben rechts KachelX + 1 39941 KachelY 42015 0.68770276 -0.78904823 39.402466 -45.209133
    Unten links KachelX 39940 KachelY + 1 42016 0.68760689 -0.78911578 39.396973 -45.213004
    Unten rechts KachelX + 1 39941 KachelY + 1 42016 0.68770276 -0.78911578 39.402466 -45.213004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78904823--0.78911578) × R
    6.75500000000273e-05 × 6371000     		dl = 430.361050000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78904823--0.78911578) × R
    6.75500000000273e-05 × 6371000     		dr = 430.361050000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68760689-0.68770276) × cos(-0.78904823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704521089689457 × 6371000     		do = 430.312865289384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68760689-0.68770276) × cos(-0.78911578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70447314899197 × 6371000     		du = 430.283583697674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78904823)-sin(-0.78911578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704521089689457-0.70447314899197)×R²
    abs(0.68770276-0.68760689)×4.79406974865926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79406974865926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79406974865926e-05×40589641000000     		ar = 185183.595776512m²