Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39939 / 41491
↖ ↑ ↗
← S 43.145086°
E 39.391479°		 ← 445.69 m → S 43.145086°
E 39.396973°		 →
↑
445.65 m
↓
↑
445.65 m
↓
S 43.149094°
E 39.391479°		 ← 445.66 m →
198 617 m²		 S 43.149094°
E 39.396973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609428405761719 y=0.633110046386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609428405761719 × 216)
    floor (0.609428405761719 × 65536)
    floor (39939.5)     		tx = 39939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633110046386719 × 216)
    floor (0.633110046386719 × 65536)
    floor (41491.5)     		ty = 41491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39939 / 41491 ti = "16/39939/41491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39939/41491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39939 ÷ 216
    39939 ÷ 65536     		x = 0.609420776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41491 ÷ 216
    41491 ÷ 65536     		y = 0.633102416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609420776367188 × 2 - 1) × π
    0.218841552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68751101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633102416992188 × 2 - 1) × π
    -0.266204833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.8363071507715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68751101} λ = 0.68751101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8363071507715))-π/2
    2×atan(0.433307712576726)-π/2
    2×0.408886258421012-π/2
    0.817772516842023-1.57079632675     		φ = -0.75302381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68751101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.391479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75302381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.145086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39939 KachelY 41491 0.68751101 -0.75302381 39.391479 -43.145086
    Oben rechts KachelX + 1 39940 KachelY 41491 0.68760689 -0.75302381 39.396973 -43.145086
    Unten links KachelX 39939 KachelY + 1 41492 0.68751101 -0.75309376 39.391479 -43.149094
    Unten rechts KachelX + 1 39940 KachelY + 1 41492 0.68760689 -0.75309376 39.396973 -43.149094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75302381--0.75309376) × R
    6.99499999999853e-05 × 6371000     		dl = 445.651449999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75302381--0.75309376) × R
    6.99499999999853e-05 × 6371000     		dr = 445.651449999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68751101-0.68760689) × cos(-0.75302381) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729624380846563 × 6371000     		do = 445.692132883914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68751101-0.68760689) × cos(-0.75309376) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.729576543884985 × 6371000     		du = 445.662911605136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75302381)-sin(-0.75309376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729624380846563-0.729576543884985)×R²
    abs(0.68760689-0.68751101)×4.78369615776186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78369615776186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78369615776186e-05×40589641000000     		ar = 198616.834101678m²