Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39937 / 42020
↖ ↑ ↗
← S 45.228480°
E 39.380493°		 ← 430.17 m → S 45.228480°
E 39.385986°		 →
↑
430.17 m
↓
↑
430.17 m
↓
S 45.232349°
E 39.380493°		 ← 430.14 m →
185 038 m²		 S 45.232349°
E 39.385986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609397888183594 y=0.641181945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609397888183594 × 216)
    floor (0.609397888183594 × 65536)
    floor (39937.5)     		tx = 39937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641181945800781 × 216)
    floor (0.641181945800781 × 65536)
    floor (42020.5)     		ty = 42020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39937 / 42020 ti = "16/39937/42020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39937/42020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39937 ÷ 216
    39937 ÷ 65536     		x = 0.609390258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42020 ÷ 216
    42020 ÷ 65536     		y = 0.64117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609390258789062 × 2 - 1) × π
    0.218780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68731927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.2823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.887024390569519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68731927} λ = 0.68731927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887024390569519))-π/2
    2×atan(0.411879523712156)-π/2
    2×0.390705212370457-π/2
    0.781410424740915-1.57079632675     		φ = -0.78938590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68731927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78938590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.228480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39937 KachelY 42020 0.68731927 -0.78938590 39.380493 -45.228480
    Oben rechts KachelX + 1 39938 KachelY 42020 0.68741514 -0.78938590 39.385986 -45.228480
    Unten links KachelX 39937 KachelY + 1 42021 0.68731927 -0.78945342 39.380493 -45.232349
    Unten rechts KachelX + 1 39938 KachelY + 1 42021 0.68741514 -0.78945342 39.385986 -45.232349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78938590--0.78945342) × R
    6.75199999999876e-05 × 6371000     		dl = 430.169919999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78938590--0.78945342) × R
    6.75199999999876e-05 × 6371000     		dr = 430.169919999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68731927-0.68741514) × cos(-0.78938590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70428141085276 × 6371000     		do = 430.166472387201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68731927-0.68741514) × cos(-0.78945342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704233475387757 × 6371000     		du = 430.137193991429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78938590)-sin(-0.78945342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70428141085276-0.704233475387757)×R²
    abs(0.68741514-0.68731927)×4.79354650024799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79354650024799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79354650024799e-05×40589641000000     		ar = 185038.379741066m²