Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39933 / 42019
↖ ↑ ↗
← S 45.224612°
E 39.358520°		 ← 430.24 m → S 45.224612°
E 39.364014°		 →
↑
430.17 m
↓
↑
430.17 m
↓
S 45.228480°
E 39.358520°		 ← 430.21 m →
185 070 m²		 S 45.228480°
E 39.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609336853027344 y=0.641166687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609336853027344 × 216)
    floor (0.609336853027344 × 65536)
    floor (39933.5)     		tx = 39933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641166687011719 × 216)
    floor (0.641166687011719 × 65536)
    floor (42019.5)     		ty = 42019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39933 / 42019 ti = "16/39933/42019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39933/42019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39933 ÷ 216
    39933 ÷ 65536     		x = 0.609329223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42019 ÷ 216
    42019 ÷ 65536     		y = 0.641159057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609329223632812 × 2 - 1) × π
    0.218658447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68693577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641159057617188 × 2 - 1) × π
    -0.282318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.886928516770279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68693577} λ = 0.68693577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886928516770279))-π/2
    2×atan(0.411919014059939)-π/2
    2×0.390738974586621-π/2
    0.781477949173242-1.57079632675     		φ = -0.78931838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68693577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.358520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78931838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.224612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39933 KachelY 42019 0.68693577 -0.78931838 39.358520 -45.224612
    Oben rechts KachelX + 1 39934 KachelY 42019 0.68703165 -0.78931838 39.364014 -45.224612
    Unten links KachelX 39933 KachelY + 1 42020 0.68693577 -0.78938590 39.358520 -45.228480
    Unten rechts KachelX + 1 39934 KachelY + 1 42020 0.68703165 -0.78938590 39.364014 -45.228480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78931838--0.78938590) × R
    6.75199999999876e-05 × 6371000     		dl = 430.169919999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78931838--0.78938590) × R
    6.75199999999876e-05 × 6371000     		dr = 430.169919999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68693577-0.68703165) × cos(-0.78931838) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.704329343106978 × 6371000     		do = 430.240621644541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68693577-0.68703165) × cos(-0.78938590) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70428141085276 × 6371000     		du = 430.211342156112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78931838)-sin(-0.78938590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704329343106978-0.70428141085276)×R²
    abs(0.68703165-0.68693577)×4.79322542183969e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79322542183969e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79322542183969e-05×40589641000000     		ar = 185070.27628609m²