Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39933 / 19455
↖ ↑ ↗
← N 77.466625°
W 70.320740°		 ← 66.28 m → N 77.466625°
W 70.317993°		 →
↑
66.26 m
↓
↑
66.26 m
↓
N 77.466029°
W 70.320740°		 ← 66.28 m →
4 392 m²		 N 77.466029°
W 70.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304668426513672 y=0.148433685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304668426513672 × 217)
    floor (0.304668426513672 × 131072)
    floor (39933.5)     		tx = 39933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148433685302734 × 217)
    floor (0.148433685302734 × 131072)
    floor (19455.5)     		ty = 19455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39933 / 19455 ti = "17/39933/19455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39933/19455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39933 ÷ 217
    39933 ÷ 131072     		x = 0.304664611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19455 ÷ 217
    19455 ÷ 131072     		y = 0.148429870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.304664611816406 × 2 - 1) × π
    -0.390670776367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.22732844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148429870605469 × 2 - 1) × π
    0.703140258789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.20898027139181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22732844} λ = -1.22732844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20898027139181))-π/2
    2×atan(9.10642557411217)-π/2
    2×1.46142199254696-π/2
    2.92284398509392-1.57079632675     		φ = 1.35204766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22732844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.320740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35204766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39933 KachelY 19455 -1.22732844 1.35204766 -70.320740 77.466625
    Oben rechts KachelX + 1 39934 KachelY 19455 -1.22728050 1.35204766 -70.317993 77.466625
    Unten links KachelX 39933 KachelY + 1 19456 -1.22732844 1.35203726 -70.320740 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 39934 KachelY + 1 19456 -1.22728050 1.35203726 -70.317993 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35204766-1.35203726) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dl = 66.2584000004907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35204766-1.35203726) × R
    1.0400000000077e-05 × 6371000     		dr = 66.2584000004907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22732844--1.22728050) × cos(1.35204766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217008279660693 × 6371000     		do = 66.2799144014507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22732844--1.22728050) × cos(1.35203726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 66.283015130538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35204766)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217008279660693-0.217018431814494)×R²
    abs(-1.22728050--1.22732844)×1.01521538012073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01521538012073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01521538012073e-05×40589641000000     		ar = 4391.70380524292m²