Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39930 / 42023
↖ ↑ ↗
← S 45.240086°
E 39.342041°		 ← 430.08 m → S 45.240086°
E 39.347534°		 →
↑
430.04 m
↓
↑
430.04 m
↓
S 45.243953°
E 39.342041°		 ← 430.05 m →
184 946 m²		 S 45.243953°
E 39.347534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609291076660156 y=0.641227722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609291076660156 × 216)
    floor (0.609291076660156 × 65536)
    floor (39930.5)     		tx = 39930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641227722167969 × 216)
    floor (0.641227722167969 × 65536)
    floor (42023.5)     		ty = 42023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39930 / 42023 ti = "16/39930/42023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39930/42023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39930 ÷ 216
    39930 ÷ 65536     		x = 0.609283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42023 ÷ 216
    42023 ÷ 65536     		y = 0.641220092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609283447265625 × 2 - 1) × π
    0.21856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68664815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641220092773438 × 2 - 1) × π
    -0.282440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.887312011967239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68664815} λ = 0.68664815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887312011967239))-π/2
    2×atan(0.411761075382808)-π/2
    2×0.390603939509197-π/2
    0.781207879018393-1.57079632675     		φ = -0.78958845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68664815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78958845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.240086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39930 KachelY 42023 0.68664815 -0.78958845 39.342041 -45.240086
    Oben rechts KachelX + 1 39931 KachelY 42023 0.68674402 -0.78958845 39.347534 -45.240086
    Unten links KachelX 39930 KachelY + 1 42024 0.68664815 -0.78965595 39.342041 -45.243953
    Unten rechts KachelX + 1 39931 KachelY + 1 42024 0.68674402 -0.78965595 39.347534 -45.243953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78958845--0.78965595) × R
    6.74999999999981e-05 × 6371000     		dl = 430.042499999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78958845--0.78965595) × R
    6.74999999999981e-05 × 6371000     		dr = 430.042499999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68664815-0.68674402) × cos(-0.78958845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70413760192691 × 6371000     		do = 430.078635654076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68664815-0.68674402) × cos(-0.78965595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704089671033564 × 6371000     		du = 430.049360050614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78958845)-sin(-0.78965595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70413760192691-0.704089671033564)×R²
    abs(0.68674402-0.68664815)×4.79308933463152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79308933463152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79308933463152e-05×40589641000000     		ar = 184945.796866557m²