Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39928 / 42025
↖ ↑ ↗
← S 45.247821°
E 39.331055°		 ← 430.06 m → S 45.247821°
E 39.336548°		 →
↑
429.98 m
↓
↑
429.98 m
↓
S 45.251688°
E 39.331055°		 ← 430.04 m →
184 913 m²		 S 45.251688°
E 39.336548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609260559082031 y=0.641258239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609260559082031 × 216)
    floor (0.609260559082031 × 65536)
    floor (39928.5)     		tx = 39928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641258239746094 × 216)
    floor (0.641258239746094 × 65536)
    floor (42025.5)     		ty = 42025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39928 / 42025 ti = "16/39928/42025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39928/42025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39928 ÷ 216
    39928 ÷ 65536     		x = 0.6092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42025 ÷ 216
    42025 ÷ 65536     		y = 0.641250610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6092529296875 × 2 - 1) × π
    0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641250610351562 × 2 - 1) × π
    -0.282501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.88750375956572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68645640} λ = 0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.88750375956572))-π/2
    2×atan(0.41168212875461)-π/2
    2×0.390536435757688-π/2
    0.781072871515377-1.57079632675     		φ = -0.78972346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78972346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.247821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39928 KachelY 42025 0.68645640 -0.78972346 39.331055 -45.247821
    Oben rechts KachelX + 1 39929 KachelY 42025 0.68655228 -0.78972346 39.336548 -45.247821
    Unten links KachelX 39928 KachelY + 1 42026 0.68645640 -0.78979095 39.331055 -45.251688
    Unten rechts KachelX + 1 39929 KachelY + 1 42026 0.68655228 -0.78979095 39.336548 -45.251688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78972346--0.78979095) × R
    6.74899999999479e-05 × 6371000     		dl = 429.978789999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78972346--0.78979095) × R
    6.74899999999479e-05 × 6371000     		dr = 429.978789999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68645640-0.68655228) × cos(-0.78972346) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.704041729830623 × 6371000     		do = 430.064932649012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68645640-0.68655228) × cos(-0.78979095) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.703993799623064 × 6371000     		du = 430.035654410788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78972346)-sin(-0.78979095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704041729830623-0.703993799623064)×R²
    abs(0.68655228-0.68645640)×4.79302075589993e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79302075589993e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79302075589993e-05×40589641000000     		ar = 184912.504921232m²