Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39926 / 42092
↖ ↑ ↗
← S 45.506347°
E 39.320068°		 ← 428.10 m → S 45.506347°
E 39.325562°		 →
↑
428.07 m
↓
↑
428.07 m
↓
S 45.510196°
E 39.320068°		 ← 428.07 m →
183 251 m²		 S 45.510196°
E 39.325562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609230041503906 y=0.642280578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609230041503906 × 216)
    floor (0.609230041503906 × 65536)
    floor (39926.5)     		tx = 39926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642280578613281 × 216)
    floor (0.642280578613281 × 65536)
    floor (42092.5)     		ty = 42092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39926 / 42092 ti = "16/39926/42092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39926/42092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39926 ÷ 216
    39926 ÷ 65536     		x = 0.609222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42092 ÷ 216
    42092 ÷ 65536     		y = 0.64227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609222412109375 × 2 - 1) × π
    0.21844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68626465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.2845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.893927304114807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68626465} λ = 0.68626465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893927304114807))-π/2
    2×atan(0.409046145502224)-π/2
    2×0.38828037141709-π/2
    0.776560742834179-1.57079632675     		φ = -0.79423558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68626465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.320068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79423558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.506347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39926 KachelY 42092 0.68626465 -0.79423558 39.320068 -45.506347
    Oben rechts KachelX + 1 39927 KachelY 42092 0.68636053 -0.79423558 39.325562 -45.506347
    Unten links KachelX 39926 KachelY + 1 42093 0.68626465 -0.79430277 39.320068 -45.510196
    Unten rechts KachelX + 1 39927 KachelY + 1 42093 0.68636053 -0.79430277 39.325562 -45.510196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79423558--0.79430277) × R
    6.71899999999948e-05 × 6371000     		dl = 428.067489999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79423558--0.79430277) × R
    6.71899999999948e-05 × 6371000     		dr = 428.067489999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68626465-0.68636053) × cos(-0.79423558) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700830253003312 × 6371000     		do = 428.103197275567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68626465-0.68636053) × cos(-0.79430277) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700782322907387 × 6371000     		du = 428.073919105534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79423558)-sin(-0.79430277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700830253003312-0.700782322907387)×R²
    abs(0.68636053-0.68626465)×4.7930095925186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7930095925186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7930095925186e-05×40589641000000     		ar = 183250.794671198m²