Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39925 / 41434
↖ ↑ ↗
← S 42.916206°
E 39.314575°		 ← 447.31 m → S 42.916206°
E 39.320068°		 →
↑
447.37 m
↓
↑
447.37 m
↓
S 42.920229°
E 39.314575°		 ← 447.28 m →
200 108 m²		 S 42.920229°
E 39.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609214782714844 y=0.632240295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609214782714844 × 216)
    floor (0.609214782714844 × 65536)
    floor (39925.5)     		tx = 39925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632240295410156 × 216)
    floor (0.632240295410156 × 65536)
    floor (41434.5)     		ty = 41434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39925 / 41434 ti = "16/39925/41434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39925/41434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39925 ÷ 216
    39925 ÷ 65536     		x = 0.609207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41434 ÷ 216
    41434 ÷ 65536     		y = 0.632232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609207153320312 × 2 - 1) × π
    0.218414306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68616878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.26446533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.830842344214813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68616878} λ = 0.68616878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830842344214813))-π/2
    2×atan(0.435682137382431)-π/2
    2×0.410883611000286-π/2
    0.821767222000572-1.57079632675     		φ = -0.74902910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68616878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.314575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74902910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.916206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39925 KachelY 41434 0.68616878 -0.74902910 39.314575 -42.916206
    Oben rechts KachelX + 1 39926 KachelY 41434 0.68626465 -0.74902910 39.320068 -42.916206
    Unten links KachelX 39925 KachelY + 1 41435 0.68616878 -0.74909932 39.314575 -42.920229
    Unten rechts KachelX + 1 39926 KachelY + 1 41435 0.68626465 -0.74909932 39.320068 -42.920229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74902910--0.74909932) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dl = 447.371620000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74902910--0.74909932) × R
    7.02200000000097e-05 × 6371000     		dr = 447.371620000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68616878-0.68626465) × cos(-0.74902910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732350326979891 × 6371000     		do = 447.310623074809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68616878-0.68626465) × cos(-0.74909932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732302510407257 × 6371000     		du = 447.281417297041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74902910)-sin(-0.74909932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732350326979891-0.732302510407257)×R²
    abs(0.68626465-0.68616878)×4.78165726339741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78165726339741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78165726339741e-05×40589641000000     		ar = 200107.545252273m²