Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39924 / 42090
↖ ↑ ↗
← S 45.498647°
E 39.309082°		 ← 428.12 m → S 45.498647°
E 39.314575°		 →
↑
428.13 m
↓
↑
428.13 m
↓
S 45.502497°
E 39.309082°		 ← 428.09 m →
183 284 m²		 S 45.502497°
E 39.314575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609199523925781 y=0.642250061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609199523925781 × 216)
    floor (0.609199523925781 × 65536)
    floor (39924.5)     		tx = 39924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642250061035156 × 216)
    floor (0.642250061035156 × 65536)
    floor (42090.5)     		ty = 42090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39924 / 42090 ti = "16/39924/42090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39924/42090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39924 ÷ 216
    39924 ÷ 65536     		x = 0.60919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42090 ÷ 216
    42090 ÷ 65536     		y = 0.642242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60919189453125 × 2 - 1) × π
    0.2183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68607291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.28448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893735556516327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68607291} λ = 0.68607291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893735556516327))-π/2
    2×atan(0.409124586638501)-π/2
    2×0.388347567270979-π/2
    0.776695134541957-1.57079632675     		φ = -0.79410119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68607291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79410119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.498647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39924 KachelY 42090 0.68607291 -0.79410119 39.309082 -45.498647
    Oben rechts KachelX + 1 39925 KachelY 42090 0.68616878 -0.79410119 39.314575 -45.498647
    Unten links KachelX 39924 KachelY + 1 42091 0.68607291 -0.79416839 39.309082 -45.502497
    Unten rechts KachelX + 1 39925 KachelY + 1 42091 0.68616878 -0.79416839 39.314575 -45.502497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79410119--0.79416839) × R
    6.7199999999934e-05 × 6371000     		dl = 428.131199999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79410119--0.79416839) × R
    6.7199999999934e-05 × 6371000     		dr = 428.131199999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68607291-0.68616878) × cos(-0.79410119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700926110835598 × 6371000     		do = 428.117096172039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68607291-0.68616878) × cos(-0.79416839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700878179935342 × 6371000     		du = 428.087820564357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79410119)-sin(-0.79416839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700926110835598-0.700878179935342)×R²
    abs(0.68616878-0.68607291)×4.79309002567874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79309002567874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79309002567874e-05×40589641000000     		ar = 183284.019292822m²