Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39922 / 42032
↖ ↑ ↗
← S 45.274887°
E 39.298096°		 ← 429.82 m → S 45.274887°
E 39.303589°		 →
↑
429.79 m
↓
↑
429.79 m
↓
S 45.278752°
E 39.298096°		 ← 429.79 m →
184 723 m²		 S 45.278752°
E 39.303589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609169006347656 y=0.641365051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609169006347656 × 216)
    floor (0.609169006347656 × 65536)
    floor (39922.5)     		tx = 39922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641365051269531 × 216)
    floor (0.641365051269531 × 65536)
    floor (42032.5)     		ty = 42032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39922 / 42032 ti = "16/39922/42032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39922/42032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39922 ÷ 216
    39922 ÷ 65536     		x = 0.609161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42032 ÷ 216
    42032 ÷ 65536     		y = 0.641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609161376953125 × 2 - 1) × π
    0.21832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68588116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.28271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.8881748761604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68588116} λ = 0.68588116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8881748761604))-π/2
    2×atan(0.411405934735831)-π/2
    2×0.390300245009866-π/2
    0.780600490019733-1.57079632675     		φ = -0.79019584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68588116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.298096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79019584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.274887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39922 KachelY 42032 0.68588116 -0.79019584 39.298096 -45.274887
    Oben rechts KachelX + 1 39923 KachelY 42032 0.68597703 -0.79019584 39.303589 -45.274887
    Unten links KachelX 39922 KachelY + 1 42033 0.68588116 -0.79026330 39.298096 -45.278752
    Unten rechts KachelX + 1 39923 KachelY + 1 42033 0.68597703 -0.79026330 39.303589 -45.278752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79019584--0.79026330) × R
    6.74600000000192e-05 × 6371000     		dl = 429.787660000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79019584--0.79026330) × R
    6.74600000000192e-05 × 6371000     		dr = 429.787660000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68588116-0.68597703) × cos(-0.79019584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703706186570858 × 6371000     		do = 429.815132430809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68588116-0.68597703) × cos(-0.79026330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703658255240066 × 6371000     		du = 429.785856560162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79019584)-sin(-0.79026330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703706186570858-0.703658255240066)×R²
    abs(0.68597703-0.68588116)×4.79313307915064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79313307915064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79313307915064e-05×40589641000000     		ar = 184722.948866185m²