Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39920 / 42041
↖ ↑ ↗
← S 45.309666°
E 39.287109°		 ← 429.60 m → S 45.309666°
E 39.292603°		 →
↑
429.60 m
↓
↑
429.60 m
↓
S 45.313529°
E 39.287109°		 ← 429.57 m →
184 547 m²		 S 45.313529°
E 39.292603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609138488769531 y=0.641502380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609138488769531 × 216)
    floor (0.609138488769531 × 65536)
    floor (39920.5)     		tx = 39920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641502380371094 × 216)
    floor (0.641502380371094 × 65536)
    floor (42041.5)     		ty = 42041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39920 / 42041 ti = "16/39920/42041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39920/42041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39920 ÷ 216
    39920 ÷ 65536     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42041 ÷ 216
    42041 ÷ 65536     		y = 0.641494750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641494750976562 × 2 - 1) × π
    -0.282989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.889037740353561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889037740353561))-π/2
    2×atan(0.411051100394832)-π/2
    2×0.389996736635599-π/2
    0.779993473271197-1.57079632675     		φ = -0.79080285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79080285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.309666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39920 KachelY 42041 0.68568941 -0.79080285 39.287109 -45.309666
    Oben rechts KachelX + 1 39921 KachelY 42041 0.68578529 -0.79080285 39.292603 -45.309666
    Unten links KachelX 39920 KachelY + 1 42042 0.68568941 -0.79087028 39.287109 -45.313529
    Unten rechts KachelX + 1 39921 KachelY + 1 42042 0.68578529 -0.79087028 39.292603 -45.313529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79080285--0.79087028) × R
    6.74300000000905e-05 × 6371000     		dl = 429.596530000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79080285--0.79087028) × R
    6.74300000000905e-05 × 6371000     		dr = 429.596530000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68578529) × cos(-0.79080285) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.703274781750628 × 6371000     		do = 429.596441278766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68578529) × cos(-0.79087028) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.703226842942626 × 6371000     		du = 429.567157786949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79080285)-sin(-0.79087028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703274781750628-0.703226842942626)×R²
    abs(0.68578529-0.68568941)×4.79388080018017e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79388080018017e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79388080018017e-05×40589641000000     		ar = 184546.850500529m²