Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39919 / 42077
↖ ↑ ↗
← S 45.448571°
E 39.281616°		 ← 428.50 m → S 45.448571°
E 39.287109°		 →
↑
428.51 m
↓
↑
428.51 m
↓
S 45.452424°
E 39.281616°		 ← 428.47 m →
183 611 m²		 S 45.452424°
E 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609123229980469 y=0.642051696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609123229980469 × 216)
    floor (0.609123229980469 × 65536)
    floor (39919.5)     		tx = 39919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642051696777344 × 216)
    floor (0.642051696777344 × 65536)
    floor (42077.5)     		ty = 42077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39919 / 42077 ti = "16/39919/42077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39919/42077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39919 ÷ 216
    39919 ÷ 65536     		x = 0.609115600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42077 ÷ 216
    42077 ÷ 65536     		y = 0.642044067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609115600585938 × 2 - 1) × π
    0.218231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68559354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642044067382812 × 2 - 1) × π
    -0.284088134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.892489197126205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68559354} λ = 0.68559354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892489197126205))-π/2
    2×atan(0.409634820810313)-π/2
    2×0.388784564338959-π/2
    0.777569128677918-1.57079632675     		φ = -0.79322720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68559354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.281616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79322720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.448571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39919 KachelY 42077 0.68559354 -0.79322720 39.281616 -45.448571
    Oben rechts KachelX + 1 39920 KachelY 42077 0.68568941 -0.79322720 39.287109 -45.448571
    Unten links KachelX 39919 KachelY + 1 42078 0.68559354 -0.79329446 39.281616 -45.452424
    Unten rechts KachelX + 1 39920 KachelY + 1 42078 0.68568941 -0.79329446 39.287109 -45.452424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79322720--0.79329446) × R
    6.72600000000134e-05 × 6371000     		dl = 428.513460000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79322720--0.79329446) × R
    6.72600000000134e-05 × 6371000     		dr = 428.513460000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68559354-0.68568941) × cos(-0.79322720) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.701549202342836 × 6371000     		do = 428.497672844746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68559354-0.68568941) × cos(-0.79329446) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.701501269866264 × 6371000     		du = 428.46839627427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79322720)-sin(-0.79329446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701549202342836-0.701501269866264)×R²
    abs(0.68568941-0.68559354)×4.79324765724209e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.79324765724209e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.79324765724209e-05×40589641000000     		ar = 183610.747759549m²