Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39919 / 42039
↖ ↑ ↗
← S 45.301939°
E 39.281616°		 ← 429.61 m → S 45.301939°
E 39.287109°		 →
↑
429.66 m
↓
↑
429.66 m
↓
S 45.305803°
E 39.281616°		 ← 429.58 m →
184 580 m²		 S 45.305803°
E 39.287109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609123229980469 y=0.641471862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609123229980469 × 216)
    floor (0.609123229980469 × 65536)
    floor (39919.5)     		tx = 39919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641471862792969 × 216)
    floor (0.641471862792969 × 65536)
    floor (42039.5)     		ty = 42039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39919 / 42039 ti = "16/39919/42039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39919/42039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39919 ÷ 216
    39919 ÷ 65536     		x = 0.609115600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42039 ÷ 216
    42039 ÷ 65536     		y = 0.641464233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609115600585938 × 2 - 1) × π
    0.218231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68559354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641464233398438 × 2 - 1) × π
    -0.282928466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.888845992755081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68559354} λ = 0.68559354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888845992755081))-π/2
    2×atan(0.411129926013256)-π/2
    2×0.390064166856223-π/2
    0.780128333712447-1.57079632675     		φ = -0.79066799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68559354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.281616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79066799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.301939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39919 KachelY 42039 0.68559354 -0.79066799 39.281616 -45.301939
    Oben rechts KachelX + 1 39920 KachelY 42039 0.68568941 -0.79066799 39.287109 -45.301939
    Unten links KachelX 39919 KachelY + 1 42040 0.68559354 -0.79073543 39.281616 -45.305803
    Unten rechts KachelX + 1 39920 KachelY + 1 42040 0.68568941 -0.79073543 39.287109 -45.305803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79066799--0.79073543) × R
    6.74400000000297e-05 × 6371000     		dl = 429.660240000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79066799--0.79073543) × R
    6.74400000000297e-05 × 6371000     		dr = 429.660240000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68559354-0.68568941) × cos(-0.79066799) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.703370649773454 × 6371000     		do = 429.610190659067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68559354-0.68568941) × cos(-0.79073543) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.703322710252269 × 6371000     		du = 429.580909785828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79066799)-sin(-0.79073543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703370649773454-0.703322710252269)×R²
    abs(0.68568941-0.68559354)×4.79395211844258e-05×R²
    9.58700000001089e-05×4.79395211844258e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×4.79395211844258e-05×40589641000000     		ar = 184580.127281525m²