Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39918 / 42042
↖ ↑ ↗
← S 45.313529°
E 39.276123°		 ← 429.57 m → S 45.313529°
E 39.281616°		 →
↑
429.53 m
↓
↑
429.53 m
↓
S 45.317392°
E 39.276123°		 ← 429.54 m →
184 507 m²		 S 45.317392°
E 39.281616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609107971191406 y=0.641517639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609107971191406 × 216)
    floor (0.609107971191406 × 65536)
    floor (39918.5)     		tx = 39918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641517639160156 × 216)
    floor (0.641517639160156 × 65536)
    floor (42042.5)     		ty = 42042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39918 / 42042 ti = "16/39918/42042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39918/42042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39918 ÷ 216
    39918 ÷ 65536     		x = 0.609100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42042 ÷ 216
    42042 ÷ 65536     		y = 0.641510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609100341796875 × 2 - 1) × π
    0.21820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68549766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.28302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.889133614152802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68549766} λ = 0.68549766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889133614152802))-π/2
    2×atan(0.411011693253242)-π/2
    2×0.389963024972006-π/2
    0.779926049944012-1.57079632675     		φ = -0.79087028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68549766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.276123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79087028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.313529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39918 KachelY 42042 0.68549766 -0.79087028 39.276123 -45.313529
    Oben rechts KachelX + 1 39919 KachelY 42042 0.68559354 -0.79087028 39.281616 -45.313529
    Unten links KachelX 39918 KachelY + 1 42043 0.68549766 -0.79093770 39.276123 -45.317392
    Unten rechts KachelX + 1 39919 KachelY + 1 42043 0.68559354 -0.79093770 39.281616 -45.317392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79087028--0.79093770) × R
    6.74199999999292e-05 × 6371000     		dl = 429.532819999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79087028--0.79093770) × R
    6.74199999999292e-05 × 6371000     		dr = 429.532819999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68549766-0.68559354) × cos(-0.79087028) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.703226842942626 × 6371000     		do = 429.567157786949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68549766-0.68559354) × cos(-0.79093770) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.703178908047319 × 6371000     		du = 429.537876685207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79087028)-sin(-0.79093770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703226842942626-0.703178908047319)×R²
    abs(0.68559354-0.68549766)×4.79348953073e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79348953073e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79348953073e-05×40589641000000     		ar = 184506.904136165m²