Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39917 / 42081
↖ ↑ ↗
← S 45.463983°
E 39.270630°		 ← 428.38 m → S 45.463983°
E 39.276123°		 →
↑
428.39 m
↓
↑
428.39 m
↓
S 45.467836°
E 39.270630°		 ← 428.35 m →
183 506 m²		 S 45.467836°
E 39.276123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609092712402344 y=0.642112731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609092712402344 × 216)
    floor (0.609092712402344 × 65536)
    floor (39917.5)     		tx = 39917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642112731933594 × 216)
    floor (0.642112731933594 × 65536)
    floor (42081.5)     		ty = 42081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39917 / 42081 ti = "16/39917/42081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39917/42081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39917 ÷ 216
    39917 ÷ 65536     		x = 0.609085083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42081 ÷ 216
    42081 ÷ 65536     		y = 0.642105102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609085083007812 × 2 - 1) × π
    0.218170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68540179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642105102539062 × 2 - 1) × π
    -0.284210205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.892872692323166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68540179} λ = 0.68540179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892872692323166))-π/2
    2×atan(0.409477757942377)-π/2
    2×0.388650062345202-π/2
    0.777300124690404-1.57079632675     		φ = -0.79349620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68540179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.270630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79349620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.463983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39917 KachelY 42081 0.68540179 -0.79349620 39.270630 -45.463983
    Oben rechts KachelX + 1 39918 KachelY 42081 0.68549766 -0.79349620 39.276123 -45.463983
    Unten links KachelX 39917 KachelY + 1 42082 0.68540179 -0.79356344 39.270630 -45.467836
    Unten rechts KachelX + 1 39918 KachelY + 1 42082 0.68549766 -0.79356344 39.276123 -45.467836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79349620--0.79356344) × R
    6.72400000000239e-05 × 6371000     		dl = 428.386040000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79349620--0.79356344) × R
    6.72400000000239e-05 × 6371000     		dr = 428.386040000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68540179-0.68549766) × cos(-0.79349620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701357481908641 × 6371000     		do = 428.380572347785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68540179-0.68549766) × cos(-0.79356344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701309550998287 × 6371000     		du = 428.351296733936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79349620)-sin(-0.79356344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701357481908641-0.701309550998287)×R²
    abs(0.68549766-0.68540179)×4.79309103544878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79309103544878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79309103544878e-05×40589641000000     		ar = 183505.986438001m²