Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39916 / 42044
↖ ↑ ↗
← S 45.321254°
E 39.265137°		 ← 429.46 m → S 45.321254°
E 39.270630°		 →
↑
429.47 m
↓
↑
429.47 m
↓
S 45.325117°
E 39.265137°		 ← 429.43 m →
184 435 m²		 S 45.325117°
E 39.270630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609077453613281 y=0.641548156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609077453613281 × 216)
    floor (0.609077453613281 × 65536)
    floor (39916.5)     		tx = 39916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641548156738281 × 216)
    floor (0.641548156738281 × 65536)
    floor (42044.5)     		ty = 42044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39916 / 42044 ti = "16/39916/42044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39916/42044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39916 ÷ 216
    39916 ÷ 65536     		x = 0.60906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42044 ÷ 216
    42044 ÷ 65536     		y = 0.64154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60906982421875 × 2 - 1) × π
    0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.2830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.889325361751282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68530592} λ = 0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889325361751282))-π/2
    2×atan(0.410932890303493)-π/2
    2×0.389895608538244-π/2
    0.779791217076488-1.57079632675     		φ = -0.79100511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79100511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.321254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39916 KachelY 42044 0.68530592 -0.79100511 39.265137 -45.321254
    Oben rechts KachelX + 1 39917 KachelY 42044 0.68540179 -0.79100511 39.270630 -45.321254
    Unten links KachelX 39916 KachelY + 1 42045 0.68530592 -0.79107252 39.265137 -45.325117
    Unten rechts KachelX + 1 39917 KachelY + 1 42045 0.68540179 -0.79107252 39.270630 -45.325117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79100511--0.79107252) × R
    6.740999999999e-05 × 6371000     		dl = 429.469109999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79100511--0.79107252) × R
    6.740999999999e-05 × 6371000     		dr = 429.469109999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68530592-0.68540179) × cos(-0.79100511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.703130977066346 × 6371000     		do = 429.463801500265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68530592-0.68540179) × cos(-0.79107252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70308304289027 × 6371000     		du = 429.434523891753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79100511)-sin(-0.79107252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703130977066346-0.70308304289027)×R²
    abs(0.68540179-0.68530592)×4.79341760759588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79341760759588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79341760759588e-05×40589641000000     		ar = 184435.14976302m²