Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39916 / 41532
↖ ↑ ↗
← S 43.309191°
E 39.265137°		 ← 444.45 m → S 43.309191°
E 39.270630°		 →
↑
444.44 m
↓
↑
444.44 m
↓
S 43.313188°
E 39.265137°		 ← 444.42 m →
197 524 m²		 S 43.313188°
E 39.270630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609077453613281 y=0.633735656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609077453613281 × 216)
    floor (0.609077453613281 × 65536)
    floor (39916.5)     		tx = 39916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633735656738281 × 216)
    floor (0.633735656738281 × 65536)
    floor (41532.5)     		ty = 41532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39916 / 41532 ti = "16/39916/41532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39916/41532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39916 ÷ 216
    39916 ÷ 65536     		x = 0.60906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41532 ÷ 216
    41532 ÷ 65536     		y = 0.63372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60906982421875 × 2 - 1) × π
    0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.2674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.840237976540344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68530592} λ = 0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840237976540344))-π/2
    2×atan(0.431607798675809)-π/2
    2×0.407454172872223-π/2
    0.814908345744446-1.57079632675     		φ = -0.75588798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75588798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.309191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39916 KachelY 41532 0.68530592 -0.75588798 39.265137 -43.309191
    Oben rechts KachelX + 1 39917 KachelY 41532 0.68540179 -0.75588798 39.270630 -43.309191
    Unten links KachelX 39916 KachelY + 1 41533 0.68530592 -0.75595774 39.265137 -43.313188
    Unten rechts KachelX + 1 39917 KachelY + 1 41533 0.68540179 -0.75595774 39.270630 -43.313188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75588798--0.75595774) × R
    6.97600000000298e-05 × 6371000     		dl = 444.44096000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75588798--0.75595774) × R
    6.97600000000298e-05 × 6371000     		dr = 444.44096000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68530592-0.68540179) × cos(-0.75588798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727662733506539 × 6371000     		do = 444.447498310553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68530592-0.68540179) × cos(-0.75595774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727614880904202 × 6371000     		du = 444.418270526283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75588798)-sin(-0.75595774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727662733506539-0.727614880904202)×R²
    abs(0.68540179-0.68530592)×4.78526023368619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78526023368619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78526023368619e-05×40589641000000     		ar = 197524.177886682m²