Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39915 / 42047
↖ ↑ ↗
← S 45.332840°
E 39.259643°		 ← 429.42 m → S 45.332840°
E 39.265137°		 →
↑
429.41 m
↓
↑
429.41 m
↓
S 45.336702°
E 39.259643°		 ← 429.39 m →
184 389 m²		 S 45.336702°
E 39.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609062194824219 y=0.641593933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609062194824219 × 216)
    floor (0.609062194824219 × 65536)
    floor (39915.5)     		tx = 39915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641593933105469 × 216)
    floor (0.641593933105469 × 65536)
    floor (42047.5)     		ty = 42047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39915 / 42047 ti = "16/39915/42047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39915/42047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39915 ÷ 216
    39915 ÷ 65536     		x = 0.609054565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42047 ÷ 216
    42047 ÷ 65536     		y = 0.641586303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609054565429688 × 2 - 1) × π
    0.218109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68521004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641586303710938 × 2 - 1) × π
    -0.283172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.889612983149002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68521004} λ = 0.68521004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889612983149002))-π/2
    2×atan(0.410814714207017)-π/2
    2×0.389794501121106-π/2
    0.779589002242211-1.57079632675     		φ = -0.79120732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68521004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.259643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79120732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.332840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39915 KachelY 42047 0.68521004 -0.79120732 39.259643 -45.332840
    Oben rechts KachelX + 1 39916 KachelY 42047 0.68530592 -0.79120732 39.265137 -45.332840
    Unten links KachelX 39915 KachelY + 1 42048 0.68521004 -0.79127472 39.259643 -45.336702
    Unten rechts KachelX + 1 39916 KachelY + 1 42048 0.68530592 -0.79127472 39.265137 -45.336702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79120732--0.79127472) × R
    6.73999999999397e-05 × 6371000     		dl = 429.405399999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79120732--0.79127472) × R
    6.73999999999397e-05 × 6371000     		dr = 429.405399999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68521004-0.68530592) × cos(-0.79120732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70298717917773 × 6371000     		do = 429.420758821957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68521004-0.68530592) × cos(-0.79127472) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.702939242531099 × 6371000     		du = 429.391476650416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79120732)-sin(-0.79127472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70298717917773-0.702939242531099)×R²
    abs(0.68530592-0.68521004)×4.79366466317188e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79366466317188e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79366466317188e-05×40589641000000     		ar = 184389.30581848m²