Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39914 / 42085
↖ ↑ ↗
← S 45.479392°
E 39.254150°		 ← 428.26 m → S 45.479392°
E 39.259643°		 →
↑
428.26 m
↓
↑
428.26 m
↓
S 45.483243°
E 39.254150°		 ← 428.23 m →
183 401 m²		 S 45.483243°
E 39.259643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609046936035156 y=0.642173767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609046936035156 × 216)
    floor (0.609046936035156 × 65536)
    floor (39914.5)     		tx = 39914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642173767089844 × 216)
    floor (0.642173767089844 × 65536)
    floor (42085.5)     		ty = 42085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39914 / 42085 ti = "16/39914/42085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39914/42085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39914 ÷ 216
    39914 ÷ 65536     		x = 0.609039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42085 ÷ 216
    42085 ÷ 65536     		y = 0.642166137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609039306640625 × 2 - 1) × π
    0.21807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68511417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642166137695312 × 2 - 1) × π
    -0.284332275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.893256187520126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68511417} λ = 0.68511417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893256187520126))-π/2
    2×atan(0.409320755295748)-π/2
    2×0.388515597113763-π/2
    0.777031194227527-1.57079632675     		φ = -0.79376513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68511417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.254150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79376513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.479392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39914 KachelY 42085 0.68511417 -0.79376513 39.254150 -45.479392
    Oben rechts KachelX + 1 39915 KachelY 42085 0.68521004 -0.79376513 39.259643 -45.479392
    Unten links KachelX 39914 KachelY + 1 42086 0.68511417 -0.79383235 39.254150 -45.483243
    Unten rechts KachelX + 1 39915 KachelY + 1 42086 0.68521004 -0.79383235 39.259643 -45.483243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79376513--0.79383235) × R
    6.72199999999235e-05 × 6371000     		dl = 428.258619999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79376513--0.79383235) × R
    6.72199999999235e-05 × 6371000     		dr = 428.258619999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68511417-0.68521004) × cos(-0.79376513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701165760633401 × 6371000     		do = 428.26347133762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68511417-0.68521004) × cos(-0.79383235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701117831303578 × 6371000     		du = 428.234196689139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79376513)-sin(-0.79383235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701165760633401-0.701117831303578)×R²
    abs(0.68521004-0.68511417)×4.79293298232264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79293298232264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79293298232264e-05×40589641000000     		ar = 183401.254740139m²