Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39913 / 42103
↖ ↑ ↗
← S 45.548679°
E 39.248657°		 ← 427.74 m → S 45.548679°
E 39.254150°		 →
↑
427.75 m
↓
↑
427.75 m
↓
S 45.552525°
E 39.248657°		 ← 427.71 m →
182 958 m²		 S 45.552525°
E 39.254150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609031677246094 y=0.642448425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609031677246094 × 216)
    floor (0.609031677246094 × 65536)
    floor (39913.5)     		tx = 39913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642448425292969 × 216)
    floor (0.642448425292969 × 65536)
    floor (42103.5)     		ty = 42103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39913 / 42103 ti = "16/39913/42103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39913/42103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39913 ÷ 216
    39913 ÷ 65536     		x = 0.609024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42103 ÷ 216
    42103 ÷ 65536     		y = 0.642440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609024047851562 × 2 - 1) × π
    0.218048095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68501830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642440795898438 × 2 - 1) × π
    -0.284881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894981915906448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68501830} λ = 0.68501830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894981915906448))-π/2
    2×atan(0.408614988005703)-π/2
    2×0.387910958497004-π/2
    0.775821916994008-1.57079632675     		φ = -0.79497441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68501830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.248657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79497441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.548679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39913 KachelY 42103 0.68501830 -0.79497441 39.248657 -45.548679
    Oben rechts KachelX + 1 39914 KachelY 42103 0.68511417 -0.79497441 39.254150 -45.548679
    Unten links KachelX 39913 KachelY + 1 42104 0.68501830 -0.79504155 39.248657 -45.552525
    Unten rechts KachelX + 1 39914 KachelY + 1 42104 0.68511417 -0.79504155 39.254150 -45.552525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79497441--0.79504155) × R
    6.71399999999656e-05 × 6371000     		dl = 427.748939999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79497441--0.79504155) × R
    6.71399999999656e-05 × 6371000     		dr = 427.748939999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68501830-0.68511417) × cos(-0.79497441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700303033581398 × 6371000     		do = 427.736528205408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68501830-0.68511417) × cos(-0.79504155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700255104403776 × 6371000     		du = 427.70725364989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79497441)-sin(-0.79504155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700303033581398-0.700255104403776)×R²
    abs(0.68511417-0.68501830)×4.79291776214197e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79291776214197e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79291776214197e-05×40589641000000     		ar = 182957.58552779m²