Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39913 / 41691
↖ ↑ ↗
← S 43.941417°
E 39.248657°		 ← 439.80 m → S 43.941417°
E 39.254150°		 →
↑
439.79 m
↓
↑
439.79 m
↓
S 43.945372°
E 39.248657°		 ← 439.77 m →
193 412 m²		 S 43.945372°
E 39.254150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609031677246094 y=0.636161804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609031677246094 × 216)
    floor (0.609031677246094 × 65536)
    floor (39913.5)     		tx = 39913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636161804199219 × 216)
    floor (0.636161804199219 × 65536)
    floor (41691.5)     		ty = 41691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39913 / 41691 ti = "16/39913/41691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39913/41691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39913 ÷ 216
    39913 ÷ 65536     		x = 0.609024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41691 ÷ 216
    41691 ÷ 65536     		y = 0.636154174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609024047851562 × 2 - 1) × π
    0.218048095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68501830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636154174804688 × 2 - 1) × π
    -0.272308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.855481910619522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68501830} λ = 0.68501830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855481910619522))-π/2
    2×atan(0.425078291971681)-π/2
    2×0.401936959576055-π/2
    0.80387391915211-1.57079632675     		φ = -0.76692241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68501830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.248657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76692241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.941417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39913 KachelY 41691 0.68501830 -0.76692241 39.248657 -43.941417
    Oben rechts KachelX + 1 39914 KachelY 41691 0.68511417 -0.76692241 39.254150 -43.941417
    Unten links KachelX 39913 KachelY + 1 41692 0.68501830 -0.76699144 39.248657 -43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 39914 KachelY + 1 41692 0.68511417 -0.76699144 39.254150 -43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76692241--0.76699144) × R
    6.90299999999144e-05 × 6371000     		dl = 439.790129999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76692241--0.76699144) × R
    6.90299999999144e-05 × 6371000     		dr = 439.790129999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68501830-0.68511417) × cos(-0.76692241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720049685213602 × 6371000     		do = 439.797541520808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68501830-0.68511417) × cos(-0.76699144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 439.768282840385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76692241)-sin(-0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720049685213602-0.720001782027159)×R²
    abs(0.68511417-0.68501830)×4.7903186442988e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7903186442988e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7903186442988e-05×40589641000000     		ar = 193412.184196382m²