Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39903 / 9379
↖ ↑ ↗
← N 77.875353°
E 39.193726°		 ← 128.29 m → N 77.875353°
E 39.199219°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
N 77.874199°
E 39.193726°		 ← 128.30 m →
16 454 m²		 N 77.874199°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608879089355469 y=0.143119812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608879089355469 × 216)
    floor (0.608879089355469 × 65536)
    floor (39903.5)     		tx = 39903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143119812011719 × 216)
    floor (0.143119812011719 × 65536)
    floor (9379.5)     		ty = 9379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39903 / 9379 ti = "16/39903/9379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39903/9379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39903 ÷ 216
    39903 ÷ 65536     		x = 0.608871459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9379 ÷ 216
    9379 ÷ 65536     		y = 0.143112182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608871459960938 × 2 - 1) × π
    0.217742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68405956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143112182617188 × 2 - 1) × π
    0.713775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24239229042699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68405956} λ = 0.68405956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24239229042699))-π/2
    2×atan(9.4158297646751)-π/2
    2×1.46498882029417-π/2
    2.92997764058835-1.57079632675     		φ = 1.35918131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68405956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.193726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35918131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.875353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39903 KachelY 9379 0.68405956 1.35918131 39.193726 77.875353
    Oben rechts KachelX + 1 39904 KachelY 9379 0.68415543 1.35918131 39.199219 77.875353
    Unten links KachelX 39903 KachelY + 1 9380 0.68405956 1.35916118 39.193726 77.874199
    Unten rechts KachelX + 1 39904 KachelY + 1 9380 0.68415543 1.35916118 39.199219 77.874199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35918131-1.35916118) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35918131-1.35916118) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68405956-0.68415543) × cos(1.35918131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210039163651906 × 6371000     		do = 128.28935237961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68405956-0.68415543) × cos(1.35916118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210058844568898 × 6371000     		du = 128.301373243011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35918131)-sin(1.35916118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210039163651906-0.210058844568898)×R²
    abs(0.68415543-0.68405956)×1.96809169923373e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96809169923373e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96809169923373e-05×40589641000000     		ar = 16453.6531982022m²