Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39903 / 42050
↖ ↑ ↗
← S 45.344424°
E 39.193726°		 ← 429.29 m → S 45.344424°
E 39.199219°		 →
↑
429.28 m
↓
↑
429.28 m
↓
S 45.348285°
E 39.193726°		 ← 429.26 m →
184 278 m²		 S 45.348285°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608879089355469 y=0.641639709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608879089355469 × 216)
    floor (0.608879089355469 × 65536)
    floor (39903.5)     		tx = 39903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641639709472656 × 216)
    floor (0.641639709472656 × 65536)
    floor (42050.5)     		ty = 42050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39903 / 42050 ti = "16/39903/42050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39903/42050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39903 ÷ 216
    39903 ÷ 65536     		x = 0.608871459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42050 ÷ 216
    42050 ÷ 65536     		y = 0.641632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608871459960938 × 2 - 1) × π
    0.217742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68405956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.28326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.889900604546722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68405956} λ = 0.68405956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889900604546722))-π/2
    2×atan(0.410696572095626)-π/2
    2×0.389693414384088-π/2
    0.779386828768176-1.57079632675     		φ = -0.79140950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68405956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.193726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79140950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.344424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39903 KachelY 42050 0.68405956 -0.79140950 39.193726 -45.344424
    Oben rechts KachelX + 1 39904 KachelY 42050 0.68415543 -0.79140950 39.199219 -45.344424
    Unten links KachelX 39903 KachelY + 1 42051 0.68405956 -0.79147688 39.193726 -45.348285
    Unten rechts KachelX + 1 39904 KachelY + 1 42051 0.68415543 -0.79147688 39.199219 -45.348285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79140950--0.79147688) × R
    6.73800000000613e-05 × 6371000     		dl = 429.27798000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79140950--0.79147688) × R
    6.73800000000613e-05 × 6371000     		dr = 429.27798000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68405956-0.68415543) × cos(-0.79140950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702843373885093 × 6371000     		do = 429.288136994543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68405956-0.68415543) × cos(-0.79147688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702795441888049 × 6371000     		du = 429.258860716957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79140950)-sin(-0.79147688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702843373885093-0.702795441888049)×R²
    abs(0.68415543-0.68405956)×4.79319970438929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79319970438929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79319970438929e-05×40589641000000     		ar = 184277.660526155m²