Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39903 / 41695
↖ ↑ ↗
← S 43.957237°
E 39.193726°		 ← 439.68 m → S 43.957237°
E 39.199219°		 →
↑
439.66 m
↓
↑
439.66 m
↓
S 43.961191°
E 39.193726°		 ← 439.65 m →
193 305 m²		 S 43.961191°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608879089355469 y=0.636222839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608879089355469 × 216)
    floor (0.608879089355469 × 65536)
    floor (39903.5)     		tx = 39903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636222839355469 × 216)
    floor (0.636222839355469 × 65536)
    floor (41695.5)     		ty = 41695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39903 / 41695 ti = "16/39903/41695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39903/41695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39903 ÷ 216
    39903 ÷ 65536     		x = 0.608871459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41695 ÷ 216
    41695 ÷ 65536     		y = 0.636215209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608871459960938 × 2 - 1) × π
    0.217742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68405956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636215209960938 × 2 - 1) × π
    -0.272430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.855865405816483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68405956} λ = 0.68405956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855865405816483))-π/2
    2×atan(0.42491530774221)-π/2
    2×0.401798910148961-π/2
    0.803597820297923-1.57079632675     		φ = -0.76719851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68405956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.193726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76719851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.957237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39903 KachelY 41695 0.68405956 -0.76719851 39.193726 -43.957237
    Oben rechts KachelX + 1 39904 KachelY 41695 0.68415543 -0.76719851 39.199219 -43.957237
    Unten links KachelX 39903 KachelY + 1 41696 0.68405956 -0.76726752 39.193726 -43.961191
    Unten rechts KachelX + 1 39904 KachelY + 1 41696 0.68415543 -0.76726752 39.199219 -43.961191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76719851--0.76726752) × R
    6.9010000000036e-05 × 6371000     		dl = 439.662710000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76719851--0.76726752) × R
    6.9010000000036e-05 × 6371000     		dr = 439.662710000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68405956-0.68415543) × cos(-0.76719851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719858065765709 × 6371000     		do = 439.680502705541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68405956-0.68415543) × cos(-0.76726752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719810162741409 × 6371000     		du = 439.651244124153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76719851)-sin(-0.76726752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719858065765709-0.719810162741409)×R²
    abs(0.68415543-0.68405956)×4.79030242998002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79030242998002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79030242998002e-05×40589641000000     		ar = 193304.689476791m²