Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39902 / 41699
↖ ↑ ↗
← S 43.973051°
E 39.188232°		 ← 439.61 m → S 43.973051°
E 39.193726°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
S 43.977005°
E 39.188232°		 ← 439.58 m →
193 245 m²		 S 43.977005°
E 39.193726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608863830566406 y=0.636283874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608863830566406 × 216)
    floor (0.608863830566406 × 65536)
    floor (39902.5)     		tx = 39902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636283874511719 × 216)
    floor (0.636283874511719 × 65536)
    floor (41699.5)     		ty = 41699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39902 / 41699 ti = "16/39902/41699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39902/41699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39902 ÷ 216
    39902 ÷ 65536     		x = 0.608856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41699 ÷ 216
    41699 ÷ 65536     		y = 0.636276245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608856201171875 × 2 - 1) × π
    0.21771240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68396368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636276245117188 × 2 - 1) × π
    -0.272552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.856248901013443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68396368} λ = 0.68396368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856248901013443))-π/2
    2×atan(0.424752386004425)-π/2
    2×0.401660897464654-π/2
    0.803321794929309-1.57079632675     		φ = -0.76747453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68396368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.188232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76747453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.973051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39902 KachelY 41699 0.68396368 -0.76747453 39.188232 -43.973051
    Oben rechts KachelX + 1 39903 KachelY 41699 0.68405956 -0.76747453 39.193726 -43.973051
    Unten links KachelX 39902 KachelY + 1 41700 0.68396368 -0.76754353 39.188232 -43.977005
    Unten rechts KachelX + 1 39903 KachelY + 1 41700 0.68405956 -0.76754353 39.193726 -43.977005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76747453--0.76754353) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76747453--0.76754353) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68396368-0.68405956) × cos(-0.76747453) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		do = 439.609314249038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68396368-0.68405956) × cos(-0.76754353) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.719618537197484 × 6371000     		du = 439.580048482739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76747453)-sin(-0.76754353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719666446987764-0.719618537197484)×R²
    abs(0.68405956-0.68396368)×4.79097902797987e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79097902797987e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79097902797987e-05×40589641000000     		ar = 193245.382410452m²