Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39901 / 41698
↖ ↑ ↗
← S 43.969098°
E 39.182739°		 ← 439.59 m → S 43.969098°
E 39.188232°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
S 43.973051°
E 39.182739°		 ← 439.56 m →
193 238 m²		 S 43.973051°
E 39.188232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608848571777344 y=0.636268615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608848571777344 × 216)
    floor (0.608848571777344 × 65536)
    floor (39901.5)     		tx = 39901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636268615722656 × 216)
    floor (0.636268615722656 × 65536)
    floor (41698.5)     		ty = 41698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39901 / 41698 ti = "16/39901/41698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39901/41698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39901 ÷ 216
    39901 ÷ 65536     		x = 0.608840942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41698 ÷ 216
    41698 ÷ 65536     		y = 0.636260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608840942382812 × 2 - 1) × π
    0.217681884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68386781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.27252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.856153027214203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68386781} λ = 0.68386781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856153027214203))-π/2
    2×atan(0.424793110581586)-π/2
    2×0.401695397191054-π/2
    0.803390794382109-1.57079632675     		φ = -0.76740553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68386781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.182739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76740553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.969098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39901 KachelY 41698 0.68386781 -0.76740553 39.182739 -43.969098
    Oben rechts KachelX + 1 39902 KachelY 41698 0.68396368 -0.76740553 39.188232 -43.969098
    Unten links KachelX 39901 KachelY + 1 41699 0.68386781 -0.76747453 39.182739 -43.973051
    Unten rechts KachelX + 1 39902 KachelY + 1 41699 0.68396368 -0.76747453 39.188232 -43.973051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76740553--0.76747453) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dl = 439.598999999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76740553--0.76747453) × R
    6.89999999999857e-05 × 6371000     		dr = 439.598999999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68386781-0.68396368) × cos(-0.76740553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719714353351712 × 6371000     		do = 439.592724920675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68386781-0.68396368) × cos(-0.76747453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719666446987764 × 6371000     		du = 439.56346429947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76740553)-sin(-0.76747453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719714353351712-0.719666446987764)×R²
    abs(0.68396368-0.68386781)×4.79063639478028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79063639478028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79063639478028e-05×40589641000000     		ar = 193238.090889106m²