Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39900 / 9396
↖ ↑ ↗
← N 77.855723°
E 39.177246°		 ← 128.49 m → N 77.855723°
E 39.182739°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
N 77.854567°
E 39.177246°		 ← 128.51 m →
16 513 m²		 N 77.854567°
E 39.182739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608833312988281 y=0.143379211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608833312988281 × 216)
    floor (0.608833312988281 × 65536)
    floor (39900.5)     		tx = 39900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143379211425781 × 216)
    floor (0.143379211425781 × 65536)
    floor (9396.5)     		ty = 9396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39900 / 9396 ti = "16/39900/9396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39900/9396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39900 ÷ 216
    39900 ÷ 65536     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9396 ÷ 216
    9396 ÷ 65536     		y = 0.14337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14337158203125 × 2 - 1) × π
    0.7132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2407624358399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2407624358399))-π/2
    2×atan(9.40049583077767)-π/2
    2×1.46481751720411-π/2
    2.92963503440821-1.57079632675     		φ = 1.35883871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35883871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.855723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39900 KachelY 9396 0.68377194 1.35883871 39.177246 77.855723
    Oben rechts KachelX + 1 39901 KachelY 9396 0.68386781 1.35883871 39.182739 77.855723
    Unten links KachelX 39900 KachelY + 1 9397 0.68377194 1.35881854 39.177246 77.854567
    Unten rechts KachelX + 1 39901 KachelY + 1 9397 0.68386781 1.35881854 39.182739 77.854567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35883871-1.35881854) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35883871-1.35881854) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68386781) × cos(1.35883871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210374108931304 × 6371000     		do = 128.493932859885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68386781) × cos(1.35881854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210393827503199 × 6371000     		du = 128.505976722441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35883871)-sin(1.35881854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210374108931304-0.210393827503199)×R²
    abs(0.68386781-0.68377194)×1.9718571895061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9718571895061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9718571895061e-05×40589641000000     		ar = 16512.6386862114m²