Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39900 / 41696
↖ ↑ ↗
← S 43.961191°
E 39.177246°		 ← 439.65 m → S 43.961191°
E 39.182739°		 →
↑
439.66 m
↓
↑
439.66 m
↓
S 43.965145°
E 39.177246°		 ← 439.62 m →
193 292 m²		 S 43.965145°
E 39.182739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608833312988281 y=0.636238098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608833312988281 × 216)
    floor (0.608833312988281 × 65536)
    floor (39900.5)     		tx = 39900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636238098144531 × 216)
    floor (0.636238098144531 × 65536)
    floor (41696.5)     		ty = 41696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39900 / 41696 ti = "16/39900/41696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39900/41696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39900 ÷ 216
    39900 ÷ 65536     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41696 ÷ 216
    41696 ÷ 65536     		y = 0.63623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.855961279615723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855961279615723))-π/2
    2×atan(0.424874571450104)-π/2
    2×0.401764403533219-π/2
    0.803528807066439-1.57079632675     		φ = -0.76726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.961191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39900 KachelY 41696 0.68377194 -0.76726752 39.177246 -43.961191
    Oben rechts KachelX + 1 39901 KachelY 41696 0.68386781 -0.76726752 39.182739 -43.961191
    Unten links KachelX 39900 KachelY + 1 41697 0.68377194 -0.76733653 39.177246 -43.965145
    Unten rechts KachelX + 1 39901 KachelY + 1 41697 0.68386781 -0.76733653 39.182739 -43.965145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76726752--0.76733653) × R
    6.9010000000036e-05 × 6371000     		dl = 439.662710000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76726752--0.76733653) × R
    6.9010000000036e-05 × 6371000     		dr = 439.662710000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68386781) × cos(-0.76726752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719810162741409 × 6371000     		do = 439.651244124153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68386781) × cos(-0.76733653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7197622562891 × 6371000     		du = 439.621983448978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76726752)-sin(-0.76733653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719810162741409-0.7197622562891)×R²
    abs(0.68386781-0.68377194)×4.79064523094541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79064523094541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79064523094541e-05×40589641000000     		ar = 193291.825109315m²